Équations du 1er degré

Quatrième · Pensée algébrique · Cycle 4 — BO 2020 en 2026-2027

Résoudre par équivalences successives, mise en équation de problèmes.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

Résoudre une équation du premier degré, même quand l'inconnue est des deux côtés du signe égal.
Traduire un problème en équation, puis répondre à la question posée.
Vérifier ta solution toi-même, sans attendre la correction.

Tu auras réussi si…

À chaque ligne, tu écris ce que tu fais — et tu le fais des deux côtés de l'égalité.
Tu ne changes qu'une seule chose à la fois.
Tu remplaces x par ta réponse dans l'équation de départ : les deux côtés donnent le même nombre.
Pour un problème, tu termines par une phrase avec l'unité, pas par « x = 12 ».

À quoi ça sert : Retrouver un prix unitaire à partir d'un total, savoir à partir de combien de séances un abonnement devient plus intéressant qu'un ticket, remonter d'un résultat vers le nombre de départ : chaque fois, on cherche un nombre inconnu à partir de ce qu'on sait de lui. C'est exactement une équation.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu résoudre 5x − 7 = 2x + 8 ?

Étape 02 / 07

Prérequis

Calcul littéral (dev, réduction).
Équations simples ax = c (5e).
Tester une égalité.

Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Équation et solution

Égalité avec inconnue. Résoudre = trouver toutes les valeurs qui rendent vrai = solutions.

2.2 — Règles d'équivalence (nouveauté 4e)

On peut faire la même chose des 2 côtés :

Ajouter / soustraire un nombre.
Multiplier / diviser par un nombre non nul.

2.3 — Méthode

Développer, réduire.
Isoler les x d'un côté.
Isoler les nombres de l'autre.
Diviser pour trouver x.
Vérifier.

2.4 — x dans les 2 membres

5x − 7 = 2x + 8 → −2x : 3x − 7 = 8 → +7 : 3x = 15 → ÷3 : x = 5.

2.5 — Mise en équation

Choisir l'inconnue (x).
Traduire l'énoncé.
Résoudre.
Conclure (unité, cohérence).

Étape 04 / 07

Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Trouver le nombre caché derrière x, celui qui rend l'égalité vraie. »
2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Une suite de lignes, une seule opération par ligne, et à la fin : x = un nombre. »
3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Je remplacerai x par ma réponse dans l'équation de départ : les deux côtés devront donner exactement le même nombre. »

Je résous l'équation 5x − 7 = 2x + 8.

1
Je regarde les deux côtés avant de toucher à quoi que ce soit. « À gauche j'ai 5x et −7, à droite 2x et +8. Il y a des x des deux côtés : c'est ça que je règle en premier, sinon je ne pourrai jamais isoler x. »
2
Je fais disparaître les x du côté où il y en a le moins. 5x − 2x − 7 = 2x − 2x + 8, donc 3x − 7 = 8. « Il y a moins de x à droite : c'est ceux-là que j'enlève. Et j'enlève 2x des DEUX côtés — si je ne le faisais qu'à droite, l'égalité deviendrait fausse. »
3
Je fais passer le nombre de l'autre côté. 3x − 7 + 7 = 8 + 7, donc 3x = 15. « Le −7 gêne. L'opération qui annule « enlever 7 », c'est « ajouter 7 ». Je l'ajoute des deux côtés. »
4
Je divise pour n'avoir plus qu'un seul x. 3x ÷ 3 = 15 ÷ 3, donc x = 5. « 3x, ça veut dire 3 fois x. Pour n'en garder qu'un seul, je divise par 3 — des deux côtés, encore une fois. »
5
Je vérifie en remplaçant x par 5 dans l'équation de départ. « À gauche : 5 × 5 − 7 = 25 − 7 = 18. À droite : 2 × 5 + 8 = 10 + 8 = 18. Les deux côtés donnent 18, donc ma solution est juste — et je n'ai eu besoin de personne pour le savoir. »

L'erreur à éviter : arriver à 3x = 15 puis écrire x = 15 − 3 = 12. « Non : 3x veut dire 3 fois x. Ce qui défait une multiplication, c'est une division, pas une soustraction. Et la vérification l'aurait dit tout de suite : 3 × 12 = 36, pas 15. »

Conclusion : x = 5.

La méthode que je viens de dérouler

S'il y a des parenthèses, je développe et je réduis chaque côté.
Je regarde de quel côté il y a le moins de x, et je les enlève des deux côtés.
Je fais passer les nombres de l'autre côté, en faisant l'opération inverse des deux côtés.
Je divise par le nombre placé devant x.
Je remplace x par ma réponse dans l'équation de départ pour vérifier.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Un seul côté avec des x

4x − 7 = 13. J'ajoute 7 des deux côtés : 4x = 20. Je divise par 4 : x = 5. Vérification : 4 × 5 − 7 = 13. ✔

Ex 2 — Des x des deux côtés

6x − 1 = 4x + 9. J'enlève 4x des deux côtés : 2x − 1 = 9. J'ajoute 1 : 2x = 10. Je divise par 2 : x = 5. Vérification : 6 × 5 − 1 = 29 et 4 × 5 + 9 = 29. ✔

Ex 3 — Avec des parenthèses

3(x + 2) = 2(x + 5). Je développe : 3x + 6 = 2x + 10. J'enlève 2x : x + 6 = 10. J'enlève 6 : x = 4. Vérification : 3 × 6 = 18 et 2 × 9 = 18. ✔

Ex 4 — Un problème mis en équation

Un père a le triple de l'âge de son fils ; à eux deux ils ont 48 ans. J'appelle x l'âge du fils, le père a donc 3x. L'équation est x + 3x = 48, soit 4x = 48, donc x = 12. Le fils a 12 ans et le père 36 ans. Vérification : 12 + 36 = 48. ✔

Étape 05 / 07

Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante se débloque quand celle-ci est juste. L'indice s'ouvre si tu le demandes — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️

Dis-le à voix haute. Avant de vérifier, énonce l'opération comme si tu l'expliquais : « j'ajoute 5 des deux côtés, donc à droite 30 devient 35 ».

Exo guidé 1 — des x d'un seul côté

Résous l'équation 7x − 5 = 30.

Étape 1 — J'ajoute 5 des deux côtés. Que devient le membre de droite ?

7x =

Le membre de droite valait 30 ; on lui ajoute 5.

Étape 2 — Je divise les deux côtés par 7

x =

35 ÷ 7. Quel nombre multiplié par 7 donne 35 ?

Étape 3 — Vérification : remplace x par ta réponse dans 7x − 5

7 × 5 − 5 =

7 × 5 = 35, puis on enlève 5. On doit retomber sur le membre de droite du départ.

Rédaction attendue

7x − 5 = 30, donc 7x = 35, donc x = 5. Vérification : 7 × 5 − 5 = 30. ✔

Exo guidé 2 — des x des deux côtés

Résous l'équation 6x + 4 = 4x + 18.

Étape 1 — J'enlève 4x des deux côtés. Quel nombre reste-t-il devant x à gauche ?

x + 4 = 18

6x − 4x. Six x moins quatre x.

Étape 2 — J'enlève 4 des deux côtés

2x =

18 − 4.

Étape 3 — Je divise les deux côtés par 2

x =

14 ÷ 2.

Étape 4 — Vérification : calcule le membre de gauche, 6 × 7 + 4

42 + 4. À droite on trouvera 4 × 7 + 18 : les deux doivent être égaux.

Rédaction attendue

6x + 4 = 4x + 18, donc 2x + 4 = 18, donc 2x = 14, donc x = 7. Vérification : 6 × 7 + 4 = 46 et 4 × 7 + 18 = 46. ✔

Exo guidé 3 — avec des parenthèses

Résous l'équation 5(x − 2) = 3x + 4.

Étape 1 — Je développe le membre de gauche : 5(x − 2) = 5x − ?

5x −

5 × 2. Le 5 multiplie les DEUX termes de la parenthèse, pas seulement le x.

Étape 2 — J'enlève 3x des deux côtés, puis j'ajoute 10 des deux côtés

2x =

2x − 10 = 4, donc 2x = 4 + 10.

Étape 3 — Je divise les deux côtés par 2

x =

14 ÷ 2.

Étape 4 — Vérification : calcule le membre de gauche, 5 × (7 − 2)

D'abord la parenthèse : 7 − 2 = 5. Puis 5 × 5. À droite : 3 × 7 + 4 = 25.

Rédaction attendue

5(x − 2) = 3x + 4, donc 5x − 10 = 3x + 4, donc 2x − 10 = 4, donc 2x = 14, donc x = 7. Vérification : 5 × (7 − 2) = 25 et 3 × 7 + 4 = 25. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu poses ton calcul sur ton cahier et tu ne saisis que la réponse. Si elle est fausse, le site te dit où ça a coincé. Essaie deux fois avant de demander l'indice.

Exo 1

Résous l'équation 8x − 3 = 5x + 12. Donne la valeur de x.

Ta réponse

Correction

8x − 3 = 5x + 12.

J'enlève 5x des deux côtés : 3x − 3 = 12.

J'ajoute 3 des deux côtés : 3x = 15.

Je divise par 3 : x = 5. Vérification : 8 × 5 − 3 = 37 et 5 × 5 + 12 = 37. ✔

Exo 2 — mise en équation

Dans une classe, il y a trois fois plus d'élèves qui viennent à pied que d'élèves qui viennent à vélo. En tout, 28 élèves viennent à pied ou à vélo. Combien viennent à vélo ?

Ta réponse (un nombre d'élèves)

Correction

J'appelle x le nombre d'élèves qui viennent à vélo. Il y a alors 3x élèves à pied.

En tout : x + 3x = 28, soit 4x = 28, donc x = 7.

7 élèves viennent à vélo (et 21 à pied). Vérification : 7 + 21 = 28. ✔

Exo 3 — trouve l'erreur

Sami résout 2x + 5 = 11. Il écrit : « 2x = 11 − 5 = 6, donc x = 6 − 2 = 4. » Quelle est la vraie valeur de x ?

Ta réponse

Correction

2x + 5 = 11. J'enlève 5 des deux côtés : 2x = 6. Jusque-là, Sami a raison.

Mais 2x signifie 2 × x : pour trouver x, on divise par 2, on ne soustrait pas 2.

x = 6 ÷ 2 = 3. Vérification : 2 × 3 + 5 = 11. ✔ (Avec la réponse de Sami : 2 × 4 + 5 = 13, ce qui ne fait pas 11.)

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

Résoudre = trouver les solutions.
±, ×, ÷ (≠0) par le même nombre des 2 côtés.
Méthode : développer → isoler x → diviser → vérifier.
Problème : inconnue → équation → résoudre → conclure.

Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

J'écris ce que je fais, et je le fais des deux côtés.
Je ne change qu'une seule chose à la fois.
Je vérifie en remplaçant x dans l'équation de départ.
Pour un problème, je réponds par une phrase, pas par « x = … ».

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage et relis les pensées en bleu : c'est là que se prend la décision « qu'est-ce que j'enlève en premier ». Puis refais l'exo guidé correspondant sans ouvrir les indices.

La suite logique : les inéquations, où l'on garde les mêmes gestes — mais où multiplier par un nombre négatif retourne le sens de l'inégalité.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais l'exo guidé 2 sans regarder les indices.

J+7

Refais les exos autonomes 1 et 2.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo guidé 3.

Pour aller plus loin

Q1. Équation sans solution, possible ?

Q2. Plusieurs solutions ? Exemple ?

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