Vrais sujets DNB ~18 exercices · tous les thèmes

Sujets de brevet

~18 exercices tirés des annales DNB 2022 à 2025 et de sujets type, couvrant tous les grands thèmes du brevet. Source : APMEP (sujets officiels) + adaptations type DNB.

Calcul littéral · 4 sujets

DNB Métro juillet 2024 · Ex 2

Programmes de calcul A et B

On considère les deux programmes suivants :

Programme A

Choisir un nombre.
Prendre le carré du nombre choisi.
Multiplier le résultat par 2.
Ajouter le double du nombre de départ.
Soustraire 4 au résultat.

Programme B (Scratch)

Demander un nombre.
Résultat 1 = nombre + 2
Résultat 2 = nombre − 1
Dire « Le résultat est » Résultat 1 × Résultat 2

1.a) Vérifie qu'avec 5 comme nombre de départ, le programme A donne 56.

Donne le calcul intermédiaire : que vaut $5^2 \times 2 + 2 \times 5 - 4$ ?

1.b) Avec le programme B et −9 comme nombre de départ, quel résultat obtient-on ?

2.a) Parmi les trois propositions, laquelle correspond au programme B en partant de x ? (E1, E2 ou E3)

E1 = (x + 2) − 1 · E2 = (x + 2)(x − 1) · E3 = x + 2 × x − 1

2.b) Exprime en fonction de x le résultat du programme A (sous forme développée et réduite).

3) Démontre que le résultat de A est toujours le double du résultat de B. Donne la forme développée et réduite de 2 × B(x).

Correction officielle

1.a) $5^2 \times 2 + 2 \times 5 - 4 = 50 + 10 - 4 = 56$ ✓

1.b) $(-9 + 2) \times (-9 - 1) = (-7) \times (-10) = 70$

2.a) Réponse : E2 = (x + 2)(x − 1)

2.b) Programme A : $2x^2 + 2x - 4$

3) $B(x) = (x+2)(x-1) = x^2 + x - 2$

$2 \times B(x) = 2x^2 + 2x - 4 = A(x)$. CQFD.

DNB Centres étrangers juin 2024 · Ex 3

Programme de calcul + factorisation

Programme de calcul :

Choisir un nombre.
D'un côté : soustraire 2.
De l'autre : ajouter 1.
Multiplier les deux résultats.

On considère ensuite la fonction $g$ définie par $g(x) = x^2 - x - 2$.

A.1) Justifie qu'en choisissant 5, le résultat final est 18.

Donne le résultat (un nombre).

B.1) Prouve que $(x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2$ (en développant).

Donne la forme développée et réduite à droite.

B.2.a) Résous l'équation $(x - 2)(x + 1) = 0$. Donne les deux solutions.

Format : « x = ?, x = ? » (par ordre croissant).

Correction officielle

A.1) $(5 - 2)(5 + 1) = 3 \times 6 = 18$ ✓

B.1) $(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$ ✓

B.2.a) $(x-2)(x+1) = 0$ ⟺ $x - 2 = 0$ ou $x + 1 = 0$, donc $x = 2$ ou $x = -1$.

Les antécédents de 0 par $g$ sont $-1$ et $2$.

DNB Asie juin 2024 · Ex 1 Q3

QCM — Factoriser une différence de carrés

Une forme factorisée de l'expression littérale $4x^2 - 9$ est…

A. $(4x - 3)(4x + 3)$
B. $(2x - 3)(2x + 3)$
C. $(2x - 3)^2$
D. $(4x - 9)(4x + 9)$

Réponds par la lettre (A, B, C ou D).

Correction officielle

Réponse : B.

$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)$ avec l'identité $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

DNB Asie juin 2022 · Ex 1 Situation 1

Programme de calcul

Programme :

Nombre de départ.
Soustraire 7.
Multiplier par 5.
Soustraire le double du nombre de départ.
Résultat.

1) Montre que si le nombre de départ est 10, le résultat est −5.

Calcule le résultat (un nombre).

2) On note x le nombre de départ. Quelle expression correspond au résultat du programme ?

A : $x − 7 \times 5 − 2x$ · B : $5(x − 7) − x^2$ · C : $5(x − 7) − 2x$ · D : $5x − 7 − 2x$

Correction officielle

1) $10 − 7 = 3$, $3 \times 5 = 15$, $15 − 2 \times 10 = 15 − 20 = -5$ ✓

2) Réponse : C. $5(x - 7) - 2x$

Si on développe : $5x - 35 - 2x = 3x - 35$. (Forme réduite si on en a besoin.)

Pythagore · 2 sujets

DNB type · Pythagore direct (calcul d'hypoténuse)

L'écran de télévision

Un écran rectangulaire mesure 96 cm de longueur et 54 cm de largeur. Calcule la longueur de la diagonale en cm (arrondie au mm près).

Correction

L'écran rectangulaire forme deux triangles rectangles. La diagonale est l'hypoténuse.

D² = 96² + 54² = 9216 + 2916 = 12 132.

D = √12 132 ≈ 110,1 cm.

DNB type · Réciproque de Pythagore

Le triangle est-il rectangle ?

Soit un triangle ABC avec AB = 7,5 cm, BC = 4,5 cm, AC = 6 cm. Le triangle est-il rectangle ? (réponds « oui » ou « non »)

Correction

Le plus grand côté est AB = 7,5 (potentielle hypoténuse).

D'une part : AB² = 7,5² = 56,25.

D'autre part : BC² + AC² = 4,5² + 6² = 20,25 + 36 = 56,25.

Comme AB² = BC² + AC², d'après la réciproque de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. → Oui.

Thalès · 2 sujets

DNB Centres étrangers 2024 · Thalès triangles emboîtés

Le champ de l'agriculteur

ABC est un triangle rectangle en B, avec AB = 600 m, BC = 450 m, AC = 750 m. Sur la figure, E ∈ [CA], D ∈ [CB], (ED) // (AB) et CD = 270 m. Calcule ED.

Correction officielle

(ED) // (AB) avec D ∈ [CB] et E ∈ [CA] → on applique Thalès dans le triangle CAB.

CDCB = EDAB → 270450 = ED600 → ED = 270 × 600450 = 360 m.

DNB type · Réciproque de Thalès (parallélisme)

Les barres parallèles ?

Soit ABC un triangle. M est sur [AB] avec AM = 4 cm et AB = 10 cm. N est sur [AC] avec AN = 6 cm et AC = 15 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Correction

Les points sont alignés dans le même ordre (A−M−B et A−N−C).

AMAB = 410 = 0,4 et ANAC = 615 = 0,4.

Les rapports sont égaux → par la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC). → Oui.

Trigonométrie · 2 sujets

DNB type · Calcul d'une longueur (cos)

La rampe d'accès handicapé

Une rampe d'accès forme avec le sol un angle de 6°. Sa longueur (hypoténuse) est de 5 m. À quelle distance horizontale du mur le bas de la rampe est-il situé ? (Réponse en m, arrondie au cm près = 2 décimales.)

Correction

Triangle rectangle au pied du mur. La distance horizontale est l'adjacent à l'angle 6°. L'hypoténuse = 5 m.

CAH : cos(6°) = distance5 → distance = 5 × cos(6°) ≈ 5 × 0,9945 ≈ 4,97 m.

DNB type · Calcul d'un angle

L'angle de la pente du toit

La charpente d'un toit forme un triangle rectangle. La base horizontale mesure 4 m et la hauteur 1,5 m. Calcule l'angle de la pente du toit avec l'horizontale, arrondi au degré près.

Correction

Connus : opposé (1,5 m) et adjacent (4 m), pas l'hypoténuse → tan (TOA).

tan(α) = 1,54 = 0,375 → α = tan⁻¹(0,375) ≈ 20,56° ≈ 21°.

Fonctions · 2 sujets

DNB type · Comparer 2 tarifs (fonction affine)

Choisir son abonnement de salle de sport

Tarif A : 30 € d'inscription + 5 € par séance.
Tarif B : 8 € par séance, sans inscription.

À partir de combien de séances le tarif A devient-il plus avantageux que le tarif B ?

Correction

Soit x le nombre de séances. A(x) = 5x + 30 et B(x) = 8x.

A < B ⟺ 5x + 30 < 8x ⟺ 30 < 3x ⟺ x > 10.

À partir de 11 séances, le tarif A devient plus avantageux.

DNB type · Lecture graphique d'image et antécédent

La fonction inconnue

On connaît une fonction f telle que f(0) = 3 et f(4) = 11. Si f est affine, donne son expression de la forme f(x) = ax + b.

Tape ta réponse au format « 2x + 3 ».

Correction

f(0) = b = 3 (ordonnée à l'origine).

a = f(4) − f(0)4 − 0 = 11 − 34 = 84 = 2.

Donc f(x) = 2x + 3.

Probabilités · 2 sujets

DNB type · Probabilité simple

L'urne de bonbons

Une urne contient 25 bonbons : 7 fraises, 10 menthe et 8 citron. On tire un bonbon au hasard. Quelle est la probabilité (en fraction irréductible) qu'il soit menthe ou citron ?

Correction

Cas favorables = 10 + 8 = 18 (menthe ou citron). Cas total = 25.

P(menthe ou citron) = 1825 (déjà irréductible).

Astuce alternative : 1 − P(fraise) = 1 − 725 = 1825.

DNB type · Arbre / probabilités composées

Le tirage de 2 boules avec remise

Un sac contient 3 boules rouges et 5 boules bleues. On tire successivement 2 boules avec remise. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules de couleurs différentes ? (en fraction irréductible)

Correction

Total = 8 boules. Avec remise, indépendance.

P(R puis B) = 38 × 58 = 1564.

P(B puis R) = 58 × 38 = 1564.

P(2 couleurs différentes) = 1564 + 1564 = 3064 = 1532.

Statistiques · 1 sujet

DNB type · Moyenne pondérée

Les notes du contrôle

Dans une classe de 25 élèves, les notes au dernier contrôle sont :

Note	8	10	12	14	16	18
Effectif	2	5	7	6	3	2

Calcule la moyenne (arrondie au dixième).

Correction

Σ(note × effectif) = 8×2 + 10×5 + 12×7 + 14×6 + 16×3 + 18×2 = 16 + 50 + 84 + 84 + 48 + 36 = 318.

Moyenne = 31825 = 12,72 ≈ 12,7.

Volumes & espace · 1 sujet

DNB type · Volume d'un cylindre

La capacité du réservoir

Un réservoir cylindrique a un rayon intérieur de 50 cm et une hauteur de 80 cm. Combien de litres d'eau peut-il contenir ? (arrondi au litre près)

Correction

V = π × r² × h = π × 50² × 80 = 200 000 π cm³.

V ≈ 200 000 × 3,14159 ≈ 628 318 cm³.

Conversion : 1 L = 1 000 cm³, donc V ≈ 628 318 / 1 000 ≈ 628 L.

Arithmétique (PGCD) · 1 sujet

DNB type · PGCD et partage

Le distributeur de bonbons

Une bibliothèque a 156 livres pour enfants et 234 livres pour adultes. La bibliothécaire veut faire des étagères toutes identiques, contenant le même nombre de livres enfants et le même nombre de livres adultes, en utilisant tous les livres et sans en couper.

Combien d'étagères au maximum peut-elle faire ? Et combien de livres enfants par étagère ?

Réponds juste le nombre d'étagères.

Correction

Le nombre maximum d'étagères = PGCD(156, 234).

Algorithme d'Euclide : 234 = 156 × 1 + 78 · 156 = 78 × 2 + 0 → PGCD = 78.

Soit 78 étagères contenant chacune 156 / 78 = 2 livres enfants et 234 / 78 = 3 livres adultes.

Algorithme & Scratch · 1 sujet

DNB type · Algorithme avec variable

La machine à doubler-diminuer

On considère le programme suivant :

N ← 7
Répéter 4 fois :
   N ← N × 2
   N ← N − 3
Afficher N

Que vaut N à l'affichage ?

Correction

Suivi des valeurs :

Début : N = 7
Tour 1 : ×2 → 14, −3 → 11
Tour 2 : ×2 → 22, −3 → 19
Tour 3 : ×2 → 38, −3 → 35
Tour 4 : ×2 → 70, −3 → 67

Affiche 67.

Stratégie sur un sujet brevet

Le brevet adore les programmes de calcul : test numérique en Q1, expression en x en Q2, démonstration en Q3.
Pour vérifier une expression, teste avec une valeur particulière (ex : x = 0 ou x = 1) — si ça marche pas avec un cas, l'expression est fausse.
Quand tu vois $a^2 - b^2$ (différence de carrés), pense direct à la factorisation $(a-b)(a+b)$.
Pour résoudre $(x - α)(x - β) = 0$ : un produit est nul ⟺ un des facteurs est nul. Donc deux solutions $x = α$ et $x = β$.
Pythagore : direct = calcul d'hypoténuse (carré le plus grand) ; réciproque = montrer rectangle (comparer somme des carrés).
Thalès : choisir le rapport qui contient l'inconnue + 3 valeurs connues. Réciproque = comparer 2 rapports pour conclure parallèle/pas parallèle.
Trigo : SOH-CAH-TOA, calculatrice en mode degré. Pour un angle, utilise sin⁻¹ / cos⁻¹ / tan⁻¹.
Probas : favorables / total. « Au moins un » = 1 − P(aucun). Avec arbre : multiplier le long, additionner les chemins.
Soigne tes parenthèses : « multiplier le résultat par 5 » ≠ « multiplier le nombre par 5 ».