G Y
clicmaths.fr
Du collège au lycée · cours, exos, sujets

Multiplication et division de fractions

Quatrième · Nombres et calcul · Cycle 4 — BO 2020 en 2026-2027

Multiplier et diviser des fractions, inverse, forme irréductible.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Multiplier deux fractions, en simplifiant avant de calculer.
  • Diviser par une fraction, en sachant laquelle des deux on inverse.
  • Rendre un résultat irréductible, et contrôler son ordre de grandeur.

Tu auras réussi si…

  • Tu simplifies avant de multiplier — jamais après avoir fabriqué de gros nombres.
  • Dans une division, tu inverses la DEUXIÈME fraction, et tu peux dire pourquoi.
  • Ton résultat est irréductible : plus aucun nombre ne divise à la fois le haut et le bas.
  • Tu vérifies l'ordre de grandeur : diviser par un nombre plus petit que 1 agrandit le résultat.

À quoi ça sert : Adapter une recette pour deux fois moins de convives, calculer les trois quarts d'une remise, partager une distance en parts inégales : dès qu'on prend une partie d'une partie, on multiplie des fractions.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu calculer 23 × 57 et 34 ÷ 12 ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Simplifier (5e).
  • Add/soust fractions (5e).
  • Inverse d'un nombre.
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Multiplier

ab × cd = acbd

Multiplier num. entre eux, dénoms entre eux. Astuce : simplifier avant.

2.2 — Inverse

Inverse de ab = ba. Produit avec son inverse = 1.

2.3 — Diviser

Diviser = multiplier par l'inverse.

ab ÷ cd = ab × dc

On inverse la 2ᵉ fraction, pas la 1ʳᵉ.

2.4 — Irréductible

Plus simplifiable. Diviser num. ET dén. par leur PGCD.

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Savoir combien de fois 2/3 tient dans 5/9. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Une fraction, irréductible, avec un numérateur et un dénominateur. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Je divise par un nombre plus petit que 1, donc mon résultat devra être PLUS GRAND que 5/9. »
Je calcule 5/9 ÷ 2/3.
  1. 1
    Je repère l'opération : c'est une division. « Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. Mais attention : on inverse celle par laquelle on DIVISE, c'est-à-dire la deuxième. Jamais la première. Je me le redis à voix haute avant d'écrire. »
  2. 2
    Je réécris en multiplication. 5/9 ÷ 2/3 = 5/9 × 3/2. « L'inverse de 2/3, c'est 3/2 : on retourne la fraction, le haut passe en bas. »
  3. 3
    Je simplifie AVANT de multiplier. « Le 3 d'en haut et le 9 d'en bas sont tous les deux dans la table de 3 : je les divise par 3, le 3 devient 1 et le 9 devient 3. C'est bien plus confortable que de multiplier d'abord 5 × 3 = 15 et 9 × 2 = 18, puis de devoir simplifier 15/18. »
  4. 4
    Je multiplie ce qui reste. 5/6. « En haut il reste 5 × 1 = 5, en bas 3 × 2 = 6. Plus rien ne divise à la fois 5 et 6 : la fraction est irréductible. »
  5. 5
    Je vérifie l'ordre de grandeur. « Je divisais par 2/3, qui est plus petit que 1 : le résultat doit donc être plus grand que 5/9. Est-ce que 5/6 est plus grand que 5/9 ? Oui — à numérateur égal, plus le dénominateur est petit, plus la fraction est grande. Ce contrôle attrape la plupart des inversions. »
L'erreur à éviter : inverser la première fraction, et écrire 9/5 × 2/3 = 18/15 = 6/5. « Non : on inverse celle par laquelle on divise, la deuxième. Et le contrôle le dit tout de suite — 5/9 divisé par 2/3 doit rester dans les parages de 5/9, un peu au-dessus ; 6/5 est plus grand que 1, c'est bien trop loin. »
Conclusion : 5/9 ÷ 2/3 = 5/6.

La méthode que je viens de dérouler

  1. Multiplication : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux.
  2. Division : je réécris en multipliant par l'inverse de la DEUXIÈME fraction.
  3. Je simplifie avant de multiplier, un nombre du haut avec un nombre du bas.
  4. Je rends le résultat irréductible.
  5. Contrôle : diviser par un nombre plus petit que 1 agrandit le résultat.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Une multiplication simple

35 × 47 : rien ne se simplifie, donc je multiplie directement. 3 × 4 = 12 en haut, 5 × 7 = 35 en bas, soit 1235, déjà irréductible.

Ex 2 — Simplifier d'abord

914 × 76 : le 9 et le 6 se simplifient par 3 (ils deviennent 3 et 2), le 7 et le 14 se simplifient par 7 (ils deviennent 1 et 2). Il reste 3 × 12 × 2 = 34. Sans simplifier avant, il aurait fallu réduire 63/84 — beaucoup plus pénible.

Ex 3 — Une division

49 ÷ 23 = 49 × 32. Je simplifie le 4 avec le 2 et le 3 avec le 9, et j'obtiens 23. Contrôle : on divisait par 2/3, plus petit que 1, et 2/3 est bien plus grand que 4/9. ✔

Ex 4 — Partager un gâteau

Léa a 34 d'un gâteau et le partage entre 3 amis. Partager en 3, c'est multiplier par 13 : 34 × 13 = 14. Chacun reçoit un quart du gâteau — logique, puisque trois quarts partagés en trois font un quart chacun.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Devant une division, prononce toujours la même phrase : « j'inverse la DEUXIÈME ». C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle disparaît quand on la nomme.
Exo guidé 1 — une multiplication

Calcule 35 × 47.

Étape 1 — Multiplie les numérateurs : 3 × 4
numérateur =
Les deux nombres du haut.
Étape 2 — Multiplie les dénominateurs : 5 × 7
dénominateur =
Les deux nombres du bas.
Étape 3 — Écris le résultat, sous la forme 12/35
résultat =
Le numérateur de l'étape 1, une barre oblique, le dénominateur de l'étape 2.
Rédaction attendue

3/5 × 4/7 = (3 × 4) / (5 × 7) = 12/35. Rien ne divise à la fois 12 et 35 : la fraction est irréductible. ✔

Exo guidé 2 — simplifier avant de multiplier

Calcule 56 × 1225.

Étape 1 — Le 5 du haut et le 25 du bas se simplifient par 5. Que devient le 25 ?
25 devient
25 divisé par 5.
Étape 2 — Le 6 du bas et le 12 du haut se simplifient par 6. Que devient le 12 ?
12 devient
12 divisé par 6.
Étape 3 — Il reste 1/1 × 2/5. Écris le résultat, sous la forme 2/5
résultat =
Ce qui reste en haut sur ce qui reste en bas.
Rédaction attendue

Je simplifie avant : le 5 avec le 25 (par 5), le 6 avec le 12 (par 6). Il reste 1/1 × 2/5 = 2/5.

Sans simplifier avant, il aurait fallu réduire 60/150 — le même résultat, mais bien plus laborieux. ✔

Exo guidé 3 — une division

Calcule 49 ÷ 23.

Étape 1 — On divise par 2/3. Quelle fraction faut-il inverser, et que devient-elle ? (écris l'inverse, sous la forme 3/2)
l'inverse est
C'est la DEUXIÈME fraction qu'on inverse, celle par laquelle on divise. On retourne 2/3.
Étape 2 — Calcule 4/9 × 3/2 en simplifiant avant. Écris le résultat irréductible
résultat =
Le 4 et le 2 se simplifient par 2 ; le 3 et le 9 se simplifient par 3.
Étape 3 — Contrôle : on divisait par 2/3, plus petit que 1, donc le résultat doit être plus grand que 4/9. Est-ce le cas ? (oui ou non)
Compare 2/3 et 4/9 : réécris 2/3 en neuvièmes, cela fait 6/9.
Rédaction attendue

4/9 ÷ 2/3 = 4/9 × 3/2. En simplifiant : 2/3.

Contrôle : 2/3 vaut 6/9, qui est bien plus grand que 4/9 — normal, on divisait par un nombre plus petit que 1. ✔

Exo guidé 4 — partager un gâteau

Léa a 34 d'un gâteau et le partage équitablement entre 3 amis. Quelle part reçoit chacun ?

Étape 1 — Partager en 3, c'est multiplier par quelle fraction ? (écris-la sous la forme 1/5)
on multiplie par
Prendre le tiers de quelque chose, c'est le multiplier par un tiers.
Étape 2 — Calcule 3/4 × 1/3 et écris le résultat irréductible
chacun reçoit
Le 3 du haut et le 3 du bas se simplifient : il ne reste que 1 en haut et 4 en bas.
Rédaction attendue

Partager en 3, c'est multiplier par 1/3 : 3/4 × 1/3 = 1/4.

Chacun reçoit un quart du gâteau. Trois quarts partagés en trois font bien un quart chacun. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu poses ton calcul sur ton cahier et tu saisis le résultat irréductible, sous la forme 2/5. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1

Calcule 710 × 514, résultat irréductible.

Ta réponse
Correction

Je simplifie avant : 7 et 14 par 7 (il reste 1 et 2), 5 et 10 par 5 (il reste 1 et 2).

Il reste 1/2 × 1/2 = 1/4.

Contrôle : on prend la moitié d'un peu plus d'un tiers, donc à peu près un quart. ✔

Exo 2 — trouve l'erreur

Sami affirme : « pour diviser, on inverse la première fraction ». Calcule 76 ÷ 143, résultat irréductible, et tu verras où cela mène.

Ta réponse
Correction

On inverse la deuxième fraction : 7/6 ÷ 14/3 = 7/6 × 3/14.

Je simplifie : 7 avec 14 (il reste 1 et 2), 3 avec 6 (il reste 1 et 2). Il reste 1/2 × 1/2 = 1/4.

Sami, lui, aurait trouvé 4 — un résultat plus grand que 1, alors qu'on divise par 14/3 qui est déjà plus grand que 1. Le contrôle d'ordre de grandeur suffit à le rejeter. ✔

Exo 3 — une part de trajet

Un trajet mesure 6 km. Léa en parcourt les 23 à vélo. Combien de kilomètres fait-elle à vélo ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)
Correction

Prendre les deux tiers de 6 km, c'est calculer 6 × 2/3.

Je partage d'abord en 3 : 6 ÷ 3 = 2 km par part. J'en prends 2 : 2 × 2 = 4.

Léa fait 4 km à vélo, et il lui reste 2 km. Contrôle : 4 est bien plus petit que 6. ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là demandent de chercher, pas seulement d'appliquer.

Exo 1 · Moyen Raisonner

Rends irréductible : a) 3648 · b) 4560 · c) 1421. À chaque fois, indique par quel nombre tu as divisé.

Exo 2 · Défi Modéliser

Un trajet de 6 km : Léa en fait les 23 à vélo, puis 14 du reste à pied. Quelle distance à vélo ? à pied ? Que reste-t-il ?

Exo 3 · Défi Chercher

Le produit de deux fractions vaut 635, et l'une des deux est 25. Quelle est l'autre ?

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • × : ab × cd = acbd.
  • ÷ = × par l'inverse.
  • Inverse de ab = ba.
  • Toujours simplifier (irréductible).
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la dernière pensée en bleu donne le contrôle qui attrape presque toutes les erreurs — diviser par un nombre plus petit que 1 agrandit le résultat.

La suite logique : en 3e, ces mêmes gestes sur des fractions contenant des lettres — mais la règle, elle, ne changera plus.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais l'exo guidé 2 : simplifier AVANT de multiplier.

J+7

Refais l'exo guidé 3 et l'exo autonome 2 (l'erreur de Sami).

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 1 sans les indices.

Pour aller plus loin

Q1. Pourquoi ÷ par 12 = ×2 ? Vérifie sur 10 ÷ 0,5.

Q2. Produit 2 fractions < 1 toujours < 1 ?

✓ Retour sommaire 4ᵉ