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Multiplication et division des relatifs

Quatrième · Nombres et calcul · Cycle 4 — BO 2020 en 2026-2027

Règle des signes, multiplications, divisions, expressions.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Multiplier et diviser deux nombres relatifs sans hésiter sur le signe.
  • Trouver le signe d'un produit de plusieurs facteurs en comptant les signes moins.
  • Calculer une expression où se mêlent additions et multiplications, dans le bon ordre.

Tu auras réussi si…

  • Tu traites le signe et la valeur séparément, dans cet ordre.
  • Tu sais dire pourquoi deux nombres négatifs multipliés donnent un résultat positif.
  • Devant plusieurs facteurs, tu comptes les signes moins avant de calculer quoi que ce soit.
  • Tu ne confonds pas les règles de la multiplication avec celles de l'addition vues en 5e.

À quoi ça sert : Un solde qui double une dette, une température qui baisse de 3 degrés pendant 4 heures, une variation en pourcentage appliquée plusieurs fois : dès qu'on répète ou qu'on partage une quantité négative, ce sont ces règles-là qui décident du résultat.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu calculer (−5) × (−4) ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Addition/soustraction de relatifs (5e).
  • Opposé d'un nombre.
  • Distance à zéro.
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Règle des signes
(+)×(+)(+)×(−)(−)×(+)(−)×(−)
+−−+

Même règle pour ÷.

2.2 — Méthode
  1. Signe du résultat.
  2. Multiplier les distances à 0.

(−6)×(+4) → signe −, valeur 24 → −24.

2.3 — Plusieurs facteurs

Compter le nb de « − » : pair → +, impair → −.

(−2)×(+3)×(−5) → 2 « − » → +30.

2.4 — Inverse

Inverse de a (≠0) : 1/a. Produit × inverse = 1.

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Multiplier trois nombres, dont deux sont négatifs, et savoir de quel côté de zéro on atterrit. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Un nombre avec son signe : un seul signe, pas trois. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Je referai le calcul dans un autre ordre : je dois retomber sur le même nombre. »
Je calcule A = (−2) × (+3) × (−5).
  1. 1
    Je sépare la question du signe de celle de la valeur. « Dans un produit, il y a deux questions complètement séparées : quel signe ? et quelle valeur ? Si je les traite en même temps, je me trompe. Je réponds donc à l'une, puis à l'autre. »
  2. 2
    Je compte les signes moins. Il y en a 2, donc un nombre pair : le résultat sera positif. « Il y a deux signes moins : devant le 2 et devant le 5. Deux, c'est un nombre pair, donc le résultat sera positif. Pourquoi ? Parce que chaque signe moins retourne le sens, et deux retournements ramènent au point de départ. »
  3. 3
    Je multiplie les distances à zéro. 2 × 3 × 5 = 30. « 2 × 3 × 5 = 30. Ici je ne m'occupe plus du tout des signes : la question a déjà été réglée à l'étape d'avant. »
  4. 4
    J'assemble le signe et la valeur. A = +30. « Un seul signe pour tout le résultat, pas un signe par facteur. »
  5. 5
    Je vérifie en calculant dans un autre ordre. « Je refais autrement, deux par deux : (−2) × (+3) = −6, puis (−6) × (−5) = +30. Deux chemins différents qui donnent le même nombre : c'est bon. »
L'erreur à éviter : penser qu'un nombre négatif élevé au carré reste négatif, et écrire (−4)² = −16. « Non : (−4)² veut dire (−4) × (−4). Il y a deux signes moins, donc un nombre pair, donc le résultat est positif : +16. Attention à ne pas confondre avec −4², sans parenthèses, qui vaut bien −16 : là, le carré ne porte que sur le 4. »
Conclusion : A = +30.

La méthode que je viens de dérouler

  1. Je réponds d'abord à la question du signe, ensuite seulement à celle de la valeur.
  2. Je compte les signes moins : un nombre pair donne un résultat positif, un nombre impair un résultat négatif.
  3. Je multiplie (ou divise) les distances à zéro, sans plus penser aux signes.
  4. J'assemble : un seul signe devant le résultat.
  5. Je vérifie en refaisant le calcul dans un autre ordre.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Deux facteurs

(+7) × (−4) : un seul signe moins, nombre impair, donc le résultat est négatif ; 7 × 4 = 28, donc −28.
(−5) × (−6) : deux signes moins, nombre pair, résultat positif ; 5 × 6 = 30, donc +30.

Ex 2 — La division suit la même règle

(−20) ÷ (+4) : un signe moins, résultat négatif ; 20 ÷ 4 = 5, donc −5.
(−18) ÷ (−9) : deux signes moins, résultat positif ; 18 ÷ 9 = 2, donc +2.

Ex 3 — Trois facteurs

(−2) × (−3) × (−4) : trois signes moins, nombre impair, donc résultat négatif ; 2 × 3 × 4 = 24, donc −24.

Ex 4 — Avec des priorités

(−7) + (−2) × (−5) : la multiplication passe avant l'addition. (−2) × (−5) = +10, il reste (−7) + (+10) = +3. Attention : ici on retrouve les règles d'addition de 5e, qui ne sont pas les mêmes.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Commence toujours par : « il y a tant de signes moins, c'est pair (ou impair), donc le résultat sera… ». Le signe se décide avant le calcul, jamais après.
Exo guidé 1 — deux facteurs

Calcule (−7) × (+4).

Étape 1 — Combien y a-t-il de signes moins dans ce produit ?
Un devant le 7, aucun devant le 4.
Étape 2 — 1 est un nombre impair : le résultat sera positif ou négatif ? (écris le mot)
le résultat sera
Un seul retournement : on change de côté de zéro et on y reste.
Étape 3 — Multiplie les distances à zéro : 7 × 4
Ici on oublie complètement les signes.
Étape 4 — Assemble : écris le résultat, signe compris
résultat =
Le signe de l'étape 2, la valeur de l'étape 3.
Rédaction attendue

Il y a un seul signe moins, nombre impair, donc le résultat est négatif. Les distances à zéro donnent 7 × 4 = 28. Donc (−7) × (+4) = −28.

Exo guidé 2 — trois facteurs

Calcule (−2) × (−3) × (−4).

Étape 1 — Combien y a-t-il de signes moins ?
Un devant chacun des trois facteurs.
Étape 2 — 3 est impair : positif ou négatif ? (écris le mot)
le résultat sera
Trois retournements : deux se compensent, il en reste un.
Étape 3 — Multiplie les distances à zéro : 2 × 3 × 4
2 × 3 = 6, puis 6 × 4.
Étape 4 — Écris le résultat, signe compris
résultat =
Le signe de l'étape 2 devant la valeur de l'étape 3.
Rédaction attendue

Trois signes moins, nombre impair, donc résultat négatif. 2 × 3 × 4 = 24. Donc (−2) × (−3) × (−4) = −24. Vérification deux par deux : (−2) × (−3) = +6, puis (+6) × (−4) = −24. ✔

Exo guidé 3 — attention aux priorités

Calcule (−5) − (−3) × (+2).

Étape 1 — Quelle opération se fait en premier ? (écris multiplication ou soustraction)
La multiplication passe toujours avant l'addition et la soustraction.
Étape 2 — Calcule (−3) × (+2)
Un seul signe moins : résultat négatif, et 3 × 2 = 6.
Étape 3 — Le calcul devient (−5) − (−6). Soustraire, c'est ajouter l'opposé : calcule (−5) + (+6)
résultat =
Règle d'addition de 5e : signes contraires, on soustrait les distances (6 − 5) et on prend le signe du plus éloigné de zéro, ici +6.
Rédaction attendue

La multiplication d'abord : (−3) × (+2) = −6. Le calcul devient (−5) − (−6) = (−5) + (+6) = +1.

Exo guidé 4 — le carré d'un négatif

Calcule (−4)².

Étape 1 — (−4)² veut dire (−4) × (−4). Combien de signes moins ?
Le carré, c'est le nombre écrit deux fois.
Étape 2 — Écris le résultat, signe compris
(−4)² =
Deux signes moins, donc un nombre pair, donc un résultat positif ; et 4 × 4 = 16.
Rédaction attendue

(−4)² = (−4) × (−4) : deux signes moins, nombre pair, donc résultat positif ; 4 × 4 = 16, donc (−4)² = +16. À ne pas confondre avec −4², qui vaut −16 : sans parenthèses, le carré ne porte que sur le 4.

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu poses ton calcul sur ton cahier et tu ne saisis que la réponse, avec son signe. Si elle est fausse, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1

Calcule (−18) ÷ (−6).

Ta réponse, signe compris
Correction

Deux signes moins, nombre pair : le résultat est positif.

Distances à zéro : 18 ÷ 6 = 3.

Donc (−18) ÷ (−6) = +3. Vérification : (−6) × 3 = −18. ✔

Exo 2

Calcule (−5) × (−2) × (+3) × (−1).

Ta réponse, signe compris
Correction

Trois signes moins, nombre impair : le résultat est négatif.

Distances à zéro : 5 × 2 × 3 × 1 = 30.

Donc le produit vaut −30. ✔

Exo 3 — trouve l'erreur

Léa affirme : « un nombre négatif élevé au carré reste négatif ». Calcule (−4)² pour la contredire.

Ta réponse, signe compris
Correction

(−4)² = (−4) × (−4). Il y a deux signes moins, donc un nombre pair : le résultat est positif.

4 × 4 = 16, donc (−4)² = +16 : Léa a tort.

Précision utile : −4², sans parenthèses, vaut −16, car le carré ne porte alors que sur le 4. Les parenthèses changent tout. ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là demandent de raisonner sur la règle, pas seulement de l'appliquer.

Exo 1 · Moyen Calculer

Donne l'inverse de chacun : a) 5 · b) −2 · c) 0,5 · d) −1/3. Vérifie à chaque fois que le produit du nombre et de son inverse vaut 1.

Exo 2 · Défi Calculer Raisonner

On multiplie (−1) par lui-même 100 fois. Quel est le résultat ? Et avec 101 facteurs ? Explique la règle que tu utilises.

Exo 3 · Défi Chercher

Trouve deux nombres relatifs dont le produit vaut −24 et la somme +5. Combien de couples possibles ?

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • Mêmes signes → + ; signes ≠ → −. Pour × et ÷.
  • Plusieurs facteurs : nb « − » pair → +, impair → −.
  • Inverse de a = 1/a.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la deuxième pensée en bleu explique pourquoi un nombre pair de signes moins donne un résultat positif. Tant que cette raison n'est pas claire, la règle s'oublie.

Le piège le plus fréquent reste le mélange avec la 5e : (−3) + (−4) = −7, mais (−3) × (−4) = +12. Deux opérations, deux règles.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais les exos guidés 1 et 2 sans les indices.

J+7

Refais l'exo guidé 3 (priorités) et l'exo autonome 2.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo guidé 4 : (−4)² contre −4².

Pour aller plus loin

Q1. Pourquoi (−1)×(−1)=+1 ? Imagine finances/températures.

Q2. ×(−1) : qu'obtiens-tu ?

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