Quatrième · Probabilités · Cycle 4 — BO 2020 en 2026-2027
Expériences à 2 épreuves, arbres pondérés, fréquence vs probabilité.
À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça
Tu auras réussi si…
À quoi ça sert : Un test médical, une météo, un jeu, un contrôle qualité : dès qu'un résultat n'est pas certain, on a besoin de mesurer sa chance d'arriver. Et quand l'expérience se fait en deux temps, l'arbre est l'outil qui empêche d'oublier des possibilités.
Question honnête : où en es-tu ?
P = favorablestotal
Couple de résultats. 2 pièces : PP, PF, FP, FF (chacune 14).
1ʳᵉ épreuve → branches avec probas. 2ᵉ → sous-branches. P d'une combinaison = produit des P le long du chemin.
Pièce + dé : P(face puis 6) = 12 × 16 = 112.
Beaucoup d'essais : fréquence observée → probabilité théorique. Loi des grands nombres.
Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.
Avant de me lancer, je me pose trois questions
La méthode que je viens de dérouler
Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.
À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.
P(deux piles) = 12 × 12 = 14 : un seul chemin convient, on multiplie le long de ce chemin.
P(face puis 6) = 12 × 16 = 112. Les deux épreuves n'ont pas le même nombre d'issues, l'arbre le montre bien : deux branches d'un côté, six de l'autre.
Avec deux pièces, P(un pile et un face) : il y a deux chemins, pile-face et face-pile, chacun valant 14. Donc P = 14 + 14 = 12. Obtenir deux résultats différents est deux fois plus probable qu'obtenir deux piles.
Sur 1 200 lancers d'une pièce, on obtient 580 piles : la fréquence vaut 580 ÷ 1200 ≈ 0,483, très proche de la probabilité 0,5. Plus on lance, plus la fréquence se rapproche de la probabilité : c'est la loi des grands nombres.
Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.
On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir deux piles ?
Un seul chemin convient : pile puis pile. P = 1/2 × 1/2 = 1/4. ✔
On lance une pièce puis un dé à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir face puis 6 ?
P(face puis 6) = 1/2 × 1/6 = 1/12. Un seul chemin de l'arbre convient. ✔
On lance deux pièces. Quelle est la probabilité d'obtenir un pile et un face ?
Deux chemins conviennent : pile-face et face-pile, chacun valant 1/4.
Donc P = 1/4 + 1/4 = 1/2. Obtenir deux résultats différents est deux fois plus probable que d'obtenir deux piles. ✔
Un sac contient 3 boules rouges et 5 vertes. On tire une boule, on la remet, on en tire une seconde. Quelle est la probabilité d'obtenir deux rouges ?
Avec remise, le sac est identique aux deux tirages : P(rouge) = 3/8 à chaque fois.
Un seul chemin convient : P(deux rouges) = 3/8 × 3/8 = 9/64 ≈ 0,14. ✔
Plus d'étapes toutes prêtes : tu construis ton arbre sur ton cahier et tu ne saisis que le résultat. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.
Le même sac (3 rouges, 5 vertes), toujours avec remise. Quelle est la probabilité d'obtenir une rouge et une verte, dans n'importe quel ordre ? Écris la fraction simplifiée, sous la forme 15/32.
Deux chemins conviennent. P(rouge puis verte) = 3/8 × 5/8 = 15/64, et P(verte puis rouge) = 5/8 × 3/8 = 15/64.
J'additionne : 15/64 + 15/64 = 30/64 = 15/32 ≈ 0,47.
Contrôle : 9/64 + 15/64 + 15/64 + 25/64 = 64/64 = 1. Toutes les issues sont bien comptées. ✔
Tom lance une pièce équilibrée 20 fois et obtient 12 piles. Il en conclut que P(pile) = 0,6. Quelle est en réalité la probabilité d'obtenir pile au 21ᵉ lancer ? (sous la forme 1/2)
La probabilité d'obtenir pile avec une pièce équilibrée est 1/2, à chaque lancer, quel que soit ce qui est arrivé avant.
Les 0,6 de Tom sont une fréquence observée sur 20 lancers. Sur un si petit nombre d'essais, un tel écart est banal.
Ce n'est que sur un très grand nombre de lancers que la fréquence se rapproche de 0,5 : c'est la loi des grands nombres. ✔
On lance trois pièces. On te demande les deux réponses l'une après l'autre.
Chaque pièce double le nombre de chemins : 2 × 2 × 2 = 8 issues, toutes de même probabilité 1/8.
Celles qui donnent exactement deux piles sont PPF, PFP et FPP : il y en a trois.
Donc P(exactement deux piles) = 3/8. Attention à ne pas compter PPP, qui en donne trois. ✔
Ceux-là demandent de dessiner l'arbre ou d'argumenter.
Trace l'arbre d'une pièce suivie d'un dé. Combien de chemins comporte-t-il ? Quelle est la probabilité d'obtenir face et un nombre impair ?
Vrai ou faux : « en lançant un dé 100 fois, on obtient toujours à peu près 17 fois le 6 ». Justifie, en distinguant fréquence et probabilité.
Dans une population, 1 % des personnes sont malades. Un test est positif chez 95 % des malades et chez 2 % des personnes saines. Fais l'arbre et calcule la probabilité d'être malade ET testé positif.
Coche ce que tu sais faire maintenant
S'il en reste un de décoché
Retourne à l'onglet Modelage : la quatrième pensée en bleu explique pourquoi il y a DEUX chemins quand l'ordre n'est pas précisé. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Et garde la distinction : une fréquence se mesure après coup sur des essais, une probabilité se calcule avant.
Refais l'exo guidé 3 : celui où DEUX chemins conviennent.
Refais l'exo autonome 1 (une rouge et une verte) et l'exo guidé 4.
Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 3 (les trois pièces).
Q1. Pourquoi P(loto) quasi nulle même si jouer chaque samedi ?
Q2. 10 piles consécutifs : probable ? P ?