Proportionnalité

Quatrième · Proportionnalité · Cycle 4 — BO 2020 en 2026-2027

Vitesse, débit, masse volumique, pourcentages d'évolution.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

Calculer une vitesse, un débit ou une masse volumique, et donner la bonne unité.
Traduire une hausse ou une baisse en pourcentage par un coefficient multiplicateur.
Enchaîner deux évolutions successives sans additionner les pourcentages.

Tu auras réussi si…

Chacun de tes résultats porte son unité, et cette unité est composée (km/h, g/cm³…).
Tu traduis toujours un pourcentage en coefficient avant de calculer.
Pour deux évolutions successives, tu multiplies les coefficients — jamais tu n'ajoutes les taux.
Tu vérifies en refaisant le calcul étape par étape sur une valeur concrète.

À quoi ça sert : Un prix soldé puis re-soldé, un salaire augmenté deux années de suite, une population qui baisse : les pourcentages s'enchaînent partout dans la vie courante — et presque toujours autrement que ne le dit l'intuition.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu convertir 72 km/h en m/s ?

Étape 02 / 07

Prérequis

Reconnaître proportionnalité.
Coefficient de proportionnalité.
Pourcentages.

Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Vitesse

v = d ÷ t

Unité km/h, m/s. 1 m/s = 3,6 km/h.

2.2 — Débit

D = V ÷ t

Unités L/s, m³/s.

2.3 — Masse volumique

ρ = m ÷ V

g/cm³, kg/L. Eau ≈ 1 g/cm³.

2.4 — Pourcentages d'évolution

+p% : ×(1 + p/100). −p% : ×(1 − p/100).

Taux = (val finale − val init) ÷ val init × 100.

2.5 — Évolutions successives

Produit des coefficients. +20% puis −15% : 1,20 × 0,85 = 1,02 → +2% total.

Étape 04 / 07

Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Ce que coûte l'article après deux changements de prix qui s'enchaînent. »
2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Un prix en euros, et une phrase disant s'il a monté, baissé, ou rien du tout. »
3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Je referai le calcul étape par étape, en euros, et je devrai retomber sur le même nombre. »

Un article coûte 80 €. Son prix augmente de 25 %, puis baisse de 20 %. Je cherche son prix final.

1
Je refuse le réflexe « +25 − 20 = +5 ». « Ma première intuition dit « +25 puis −20, donc +5 % ». Elle est fausse, et je peux dire pourquoi : les deux pourcentages ne portent pas sur le même prix. Les 25 % portent sur 80 €, mais les 20 % portent sur le prix DÉJÀ augmenté. On ne peut donc pas les additionner. »
2
Je traduis chaque évolution en coefficient multiplicateur. ×1,25 puis ×0,80. « +25 %, cela veut dire : je garde tout (c'est-à-dire 1) et j'ajoute un quart (0,25), donc ×1,25. −20 %, c'est garder tout moins un cinquième : ×0,80. Le coefficient, c'est ce qui rend les évolutions calculables. »
3
Je multiplie les coefficients entre eux. 1,25 × 0,80 = 1. « 1,25 × 0,80 = 1. Un coefficient global de 1, cela veut dire : on multiplie par 1, donc rien ne change. L'article est revenu exactement à son prix de départ. »
4
Je reviens à l'énoncé pour conclure. Le prix final est de 80 €. « Le coefficient global s'applique au prix de départ : 80 × 1 = 80 €. Et je réponds par une phrase, pas seulement par un nombre. »
5
Je vérifie en refaisant le calcul en euros. « Étape par étape : 80 × 1,25 = 100 €, puis 100 × 0,80 = 80 €. Même résultat. Et cela montre bien d'où vient le piège : la baisse de 20 % s'applique à 100 €, donc elle retire 20 €, alors que la hausse n'avait ajouté que 20 € à 80 €. »

L'erreur à éviter : écrire « +25 % − 20 % = +5 %, donc 84 € ». « Non : les deux pourcentages ne se rapportent pas à la même somme. Vingt pour cent de 100 €, cela fait 20 € ; vingt pour cent de 80 €, cela n'en fait que 16. Additionner des pourcentages qui portent sur des bases différentes n'a aucun sens. »

Conclusion : Le prix final est de 80 € : l'article est revenu à son prix de départ.

La méthode que je viens de dérouler

Une évolution se traduit toujours par un coefficient : +p % donne ×(1 + p/100), −p % donne ×(1 − p/100).
Évolutions successives : je MULTIPLIE les coefficients. Jamais je n'additionne les taux.
Coefficient plus grand que 1 : hausse. Plus petit que 1 : baisse. Égal à 1 : retour au départ.
Pour retrouver le taux global : (coefficient − 1) × 100.
Je vérifie en refaisant le calcul étape par étape sur une valeur concrète.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Une vitesse

240 km parcourus en 3 h : v = d ÷ t = 240 ÷ 3 = 80 km/h. L'unité vient de l'opération elle-même : des kilomètres divisés par des heures donnent des kilomètres par heure.

Ex 2 — Changer d'unité

Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 ; dans l'autre sens, on divise. Ainsi 10 m/s = 10 × 3,6 = 36 km/h, et 72 km/h = 72 ÷ 3,6 = 20 m/s. Contrôle de bon sens : le nombre de km/h est toujours le plus grand des deux.

Ex 3 — Un taux d'évolution

Un prix passe de 50 € à 65 €. L'augmentation est de 65 − 50 = 15 €, que je rapporte au prix de DÉPART : 15 ÷ 50 = 0,3, soit +30 %. Se tromper de base — diviser par 65 — est l'erreur classique.

Ex 4 — Deux évolutions

+20 % puis −15 % : coefficient global 1,20 × 0,85 = 1,02, soit +2 % seulement, et non +5 %. Le sens intuitif est le bon (ça monte un peu), mais la valeur ne l'est pas.

Étape 05 / 07

Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️

Dis-le à voix haute. Devant un pourcentage, prononce le coefficient : « moins quinze pour cent, donc fois zéro virgule quatre-vingt-cinq ». Tant qu'on parle en pourcentages, on est tenté de les additionner.

Exo guidé 1 — une vitesse

Un train parcourt 240 km en 3 heures. Quelle est sa vitesse moyenne ?

Étape 1 — La vitesse est la distance divisée par le temps. Calcule 240 ÷ 3

v =

Combien de kilomètres par heure si l'on fait 240 km en 3 heures ?

Étape 2 — Quelle unité faut-il écrire ? (km/h ou m/s)

unité :

Des kilomètres divisés par des heures.

Rédaction attendue

v = d ÷ t = 240 ÷ 3 = 80. Le train roule à 80 km/h. ✔

Exo guidé 2 — changer d'unité

Convertis 72 km/h en mètres par seconde.

Étape 1 — Pour passer de km/h à m/s, faut-il multiplier ou diviser par 3,6 ? (écris le mot)

il faut

Un même mouvement donne un plus GRAND nombre en km/h qu'en m/s : pour aller vers les m/s, le nombre doit donc diminuer.

Étape 2 — Calcule 72 ÷ 3,6

72 km/h =

72 divisé par 3,6. Tu peux d'abord faire 720 ÷ 36.

Rédaction attendue

72 ÷ 3,6 = 20, donc 72 km/h = 20 m/s. Contrôle : le nombre exprimé en m/s est bien plus petit. ✔

Exo guidé 3 — un taux d'évolution

Un abonnement passe de 50 € à 65 €. Quel est le taux d'augmentation, en pourcentage ?

Étape 1 — Calcule l'augmentation en euros : 65 − 50

augmentation =

La différence entre l'arrivée et le départ.

Étape 2 — Divise par la valeur de DÉPART : 15 ÷ 50

C'est toujours par le prix de départ qu'on divise, jamais par le prix d'arrivée.

Étape 3 — Multiplie par 100 pour obtenir le pourcentage

taux =

0,3 × 100. Le résultat s'écrit ensuite avec le signe %.

Rédaction attendue

Augmentation : 65 − 50 = 15 €. Rapportée au prix de départ : 15 ÷ 50 = 0,3.

Soit une hausse de 30 %. (Diviser par 65 aurait donné 23 %, ce qui est faux : on divise toujours par la valeur de départ.) ✔

Exo guidé 4 — deux évolutions qui s'enchaînent

Un prix augmente de 20 %, puis baisse de 15 %. Quel est le taux d'évolution global ?

Étape 1 — Quel est le coefficient multiplicateur d'une hausse de 20 % ?

coefficient =

On garde tout (1) et on ajoute 20 centièmes.

Étape 2 — Et celui d'une baisse de 15 % ?

coefficient =

On garde tout (1) et on retire 15 centièmes.

Étape 3 — Multiplie les deux coefficients : 1,2 × 0,85

coefficient global =

Ce produit dira si l'ensemble monte ou baisse.

Étape 4 — Taux global en % : calcule (1,02 − 1) × 100

taux global =

Le coefficient dépasse 1 de 0,02, ce qui fait 2 pour cent.

Rédaction attendue

Coefficients : ×1,20 puis ×0,85. Coefficient global : 1,20 × 0,85 = 1,02.

Le prix a donc augmenté de 2 %, et non de 5 % comme le suggère l'intuition. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu poses ton calcul sur ton cahier et tu ne saisis que le résultat. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1 — masse volumique

Un morceau de plomb de 10 cm³ a une masse de 113 g. Quelle est sa masse volumique, en g/cm³ ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)

Correction

ρ = m ÷ V = 113 ÷ 10 = 11,3 g/cm³.

Autrement dit, un seul centimètre cube de plomb pèse 11,3 g — plus de onze fois l'eau, qui vaut environ 1 g/cm³. C'est bien ce qu'on ressent en soulevant du plomb. ✔

Exo 2 — deux évolutions

Un prix augmente de 20 %, puis baisse de 30 %. Quel est le taux d'évolution global, en pourcentage ? (écris un nombre négatif s'il s'agit d'une baisse)

Ta réponse (un nombre, sans le signe %)

Correction

Coefficients : ×1,2 puis ×0,7. Coefficient global : 1,2 × 0,7 = 0,84.

Taux global : (0,84 − 1) × 100 = −16 %. Le prix a baissé de 16 %, et non de 10 %.

Vérification sur 100 € : 100 × 1,2 = 120, puis 120 × 0,7 = 84. On a bien perdu 16 € sur 100. ✔

Exo 3 — vitesse moyenne, attention au piège

Une voiture parcourt 120 km : les 60 premiers kilomètres à 60 km/h, les 60 suivants à 100 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur tout le trajet, en km/h ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)

Correction

Première moitié : 60 ÷ 60 = 1 h. Seconde moitié : 60 ÷ 100 = 0,6 h. Durée totale : 1,6 h.

Vitesse moyenne = distance totale ÷ temps total = 120 ÷ 1,6 = 75 km/h.

Ce n'est pas 80 km/h : la voiture passe une heure entière à 60 km/h, mais seulement 36 minutes à 100 km/h. Une vitesse moyenne n'est jamais la moyenne des vitesses. ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Deux questions où il faut argumenter.

Exo 1 · Moyen Communiquer

Mia affirme : « augmenter de 100 %, c'est doubler ». A-t-elle raison ? Vérifie sur un prix de 50 €, puis dis ce que donnerait une hausse de 200 %.

Exo 2 · Défi Chercher

Compare « +20 % puis −30 % » et « −30 % puis +20 % ». L'ordre change-t-il le résultat ? Explique pourquoi, en parlant des coefficients.

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

v = d/t · D = V/t · ρ = m/V.
1 m/s = 3,6 km/h.
+p% : ×(1+p/100). −p% : ×(1−p/100).
Successives : produit des coefficients.

Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

Mes résultats portent leur unité composée (km/h, g/cm³…).
Je traduis un pourcentage en coefficient avant de calculer.
Pour deux évolutions, je multiplie les coefficients.
Je vérifie sur une valeur concrète, en euros.

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la première pensée en bleu dit pourquoi on ne peut pas additionner deux pourcentages — ils ne portent pas sur la même somme. C'est toute la difficulté du chapitre en une phrase.

Et retiens le second piège, celui de l'exercice 3 : une vitesse moyenne n'est jamais la moyenne des vitesses.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais l'exo guidé 4 : les deux évolutions successives.

J+7

Refais les exos autonomes 2 et 3 (le piège de la vitesse moyenne).

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo guidé 3 (le taux d'évolution).

Pour aller plus loin

Q1. Pourquoi +20% puis −20% ≠ retour ?

Q2. Train 120 km/h 30 min + 80 km/h 30 min. Vit moy ?

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