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Puissances

Quatrième · Nombres et calcul · Cycle 4 — BO 2020 en 2026-2027

Exposants positifs et négatifs, écriture scientifique, puissances de 10.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Écrire un grand ou un tout petit nombre en écriture scientifique.
  • Comprendre ce que change un exposant négatif — et ce qu'il ne change pas.
  • Multiplier et diviser des puissances du même nombre sans repasser par le calcul complet.

Tu auras réussi si…

  • Ton nombre devant la puissance de 10 est toujours compris entre 1 et 10.
  • Tu sais dire, avant de calculer, si l'exposant sera positif ou négatif.
  • Tu n'écris jamais un nombre négatif là où il n'y a qu'un exposant négatif.
  • Tu vérifies en revenant à l'écriture décimale.

À quoi ça sert : La masse de la Terre, la taille d'un virus, la distance d'une étoile, la mémoire d'un disque : ces nombres-là sont impossibles à lire avec tous leurs zéros. L'écriture scientifique sert à les écrire, à les comparer d'un coup d'œil et à les calculer sans se noyer.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu calculer 10−3 et écrire 320 000 en notation scientifique ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Carrés et cubes (5e).
  • Inverse d'un nombre.
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Exposant positif

an = a × a × … × a (n fois). a0 = 1 (a ≠ 0).

2.2 — Exposant négatif (nouveauté 4e)

a−n = 1 / an

10−1 = 0,1. 10−2 = 0,01. 2−3 = 1/8 = 0,125.

2.3 — Puissances de 10

10n (n > 0) = 1 suivi de n zéros. 10−n = 0,0…01 (n chiffres).

2.4 — Opérations
  • am × an = am+n
  • am ÷ an = am−n
  • (am)n = am×n
2.5 — Écriture scientifique

a × 10n avec 1 ≤ |a| < 10

320 000 = 3,2 × 105. 0,000045 = 4,5 × 10−5.

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Réécrire le même nombre autrement : un petit nombre, fois une puissance de 10. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Quelque chose comme 3,2 × 10 puissance quelque chose. Un seul chiffre avant la virgule. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Je referai le calcul dans l'autre sens : mon écriture devra redonner 320 000. »
J'écris 320 000 en écriture scientifique.
  1. 1
    Je repère la forme à obtenir : un nombre entre 1 et 10, fois une puissance de 10. « Un seul chiffre avant la virgule, et il ne doit pas être zéro. Pour 320 000, ce sera donc 3,2 — surtout pas 32, ni 0,32. Cette contrainte n'est pas un caprice : c'est elle qui rend deux nombres comparables d'un coup d'œil. »
  2. 2
    Je place la virgule après le premier chiffre. 3,2. « Dans 320 000, la virgule est tout au bout, après le dernier zéro. Je la place juste après le 3, et les zéros de fin disparaissent : il reste 3,2. »
  3. 3
    Je compte de combien de rangs la virgule s'est déplacée. 5 rangs. « De la fin du nombre jusqu'à sa place derrière le 3, la virgule a franchi 5 rangs. Je les compte sur mes doigts si besoin : 0, 0, 0, 0, 2 — cinq. »
  4. 4
    Je décide du signe de l'exposant. 320 000 = 3,2 × 10⁵. « 3,2 est beaucoup plus PETIT que 320 000 : il faut donc le multiplier par un très grand nombre pour retrouver le départ. L'exposant est donc positif. Je ne l'apprends pas par cœur, je me le redemande à chaque fois. »
  5. 5
    Je vérifie en revenant à l'écriture décimale. « 10⁵ vaut 100 000, et 3,2 × 100 000 = 320 000. C'est bien le nombre de départ. »
L'erreur à éviter : écrire 10⁻² = −100. « Non : le signe moins est sur l'EXPOSANT, pas sur le nombre. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif, il le rend petit : 10⁻² = 1/100 = 0,01. Une puissance de 10 est toujours positive, quel que soit son exposant. »
Conclusion : 320 000 = 3,2 × 10⁵.

La méthode que je viens de dérouler

  1. Je place la virgule pour obtenir un nombre entre 1 et 10.
  2. Je compte de combien de rangs la virgule s'est déplacée : c'est la valeur de l'exposant.
  3. Nombre de départ grand → exposant positif. Nombre de départ plus petit que 1 → exposant négatif.
  4. Je vérifie en revenant à l'écriture décimale.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Un tout petit nombre

0,000045 : la virgule doit venir se placer après le 4, ce qui donne 4,5. Elle s'est déplacée de 5 rangs, mais cette fois vers la droite, et le nombre de départ est plus petit que 1 : l'exposant est négatif. Donc 0,000045 = 4,5 × 10⁻⁵.

Ex 2 — Multiplier des puissances de 10

10⁵ × 10³ : multiplier, c'est ajouter des zéros aux zéros, donc on ADDITIONNE les exposants : 5 + 3 = 8, soit 10⁸. De même 10⁷ ÷ 10⁴ = 10³, et (10²)³ = 10⁶ (deux, trois fois de suite).

Ex 3 — Un produit complet

(3 × 10⁵) × (2 × 10³) : je range les nombres ensemble et les puissances ensemble. 3 × 2 = 6, et 10⁵ × 10³ = 10⁸. Donc le résultat est 6 × 10⁸, déjà en écriture scientifique puisque 6 est entre 1 et 10.

Ex 4 — Un ordre de grandeur

La masse de la Terre vaut environ 6 × 10²⁴ kg : un 6 suivi de 24 zéros. Écrite en toutes lettres, cette masse tiendrait sur une ligne entière — et personne ne pourrait la comparer à une autre d'un coup d'œil.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Pose-toi la question du signe avant de calculer : « mon nombre de départ est-il grand ou tout petit ? ». C'est elle qui donne le signe de l'exposant.
Exo guidé 1 — un très petit nombre

Écris 0,00072 en écriture scientifique.

Étape 1 — Où placer la virgule pour obtenir un nombre entre 1 et 10 ?
le nombre est
Le premier chiffre qui n'est pas un zéro est le 7. La virgule vient juste après lui.
Étape 2 — De combien de rangs la virgule s'est-elle déplacée ?
nombre de rangs :
Compte les chiffres franchis : 0, 0, 0, puis le 7 — la virgule part d'entre le 0 et le 0, et arrive après le 7.
Étape 3 — 0,00072 est plus petit que 1 : l'exposant sera positif ou négatif ? (écris le mot)
l'exposant sera
7,2 est BEAUCOUP plus grand que 0,00072 : il faut donc le rendre plus petit, donc l'exposant est négatif.
Étape 4 — Écris l'exposant, signe compris
0,00072 = 7,2 × 10 puissance
La valeur trouvée à l'étape 2, avec le signe de l'étape 3.
Rédaction attendue

0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴. Vérification : 10⁻⁴ = 0,0001, et 7,2 × 0,0001 = 0,00072. ✔

Exo guidé 2 — multiplier deux puissances de 10

Calcule 10⁵ × 10³.

Étape 1 — Pour multiplier deux puissances du même nombre, que fait-on des exposants ? (écris additionne ou multiplie)
on les
10⁵, c'est cinq zéros ; 10³, c'est trois zéros. En multipliant, les zéros s'ajoutent.
Étape 2 — Calcule le nouvel exposant : 5 + 3
10⁵ × 10³ = 10 puissance
Cinq zéros suivis de trois zéros.
Rédaction attendue

10⁵ × 10³ = 10⁵⁺³ = 10⁸. Autrement dit : 100 000 × 1 000 = 100 000 000, soit un 1 suivi de 8 zéros. ✔

Exo guidé 3 — un produit complet

Calcule (3 × 10⁵) × (2 × 10³) et donne le résultat en écriture scientifique.

Étape 1 — Je range les nombres ensemble : calcule 3 × 2
Les deux nombres placés devant les puissances de 10.
Étape 2 — Je range les puissances ensemble : 10⁵ × 10³ donne 10 puissance ?
10 puissance
On additionne les exposants.
Étape 3 — Le résultat est-il déjà en écriture scientifique ? (oui ou non)
Il faut que le nombre devant soit entre 1 et 10. Ici c'est 6 : est-il bien entre 1 et 10 ?
Rédaction attendue

(3 × 10⁵) × (2 × 10³) = (3 × 2) × (10⁵ × 10³) = 6 × 10⁸. Le nombre 6 est bien compris entre 1 et 10 : le résultat est déjà en écriture scientifique. ✔

Exo guidé 4 — revenir à l'écriture décimale

Écris 7 × 10⁻³ en écriture décimale.

Étape 1 — Écris 7 × 10⁻³ en écriture décimale
L'exposant −3 rend le nombre 1 000 fois plus petit : la virgule se déplace de 3 rangs vers la gauche.
Étape 2 — Ce résultat est-il positif ou négatif ? (écris le mot)
il est
Un exposant négatif rend le nombre petit, il ne le rend pas négatif.
Rédaction attendue

10⁻³ = 0,001, donc 7 × 10⁻³ = 0,007. C'est un nombre positif, plus petit que 1 : l'exposant négatif rend le nombre petit, il ne le rend pas négatif. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes. Si ta réponse est fausse, le site te dit où ça a coincé. Essaie deux fois avant de demander l'indice.

Exo 1 — écriture scientifique de 250 000 000

Écris 250 000 000 en écriture scientifique. On te demande les deux morceaux l'un après l'autre.

a) Le nombre placé devant la puissance de 10
b) L'exposant de 10, signe compris
Correction

Je place la virgule après le premier chiffre : 2,5.

La virgule a franchi 8 rangs, et le nombre de départ est grand : l'exposant est +8.

Donc 250 000 000 = 2,5 × 10⁸. Vérification : 2,5 × 100 000 000 = 250 000 000. ✔

Exo 2 — trouve l'erreur

Léa écrit : « 10⁻² = −100 ». Donne la vraie valeur de 10⁻², en écriture décimale.

Ta réponse
Correction

Un exposant négatif veut dire « 1 divisé par » : 10⁻² = 1 ÷ 10² = 1 ÷ 100.

Donc 10⁻² = 0,01, un nombre positif et tout petit.

Léa a confondu deux choses : le signe de l'exposant et le signe du nombre. Une puissance de 10 est toujours positive. ✔

Exo 3 — la vitesse de la lumière

La lumière parcourt environ 3 × 10⁸ mètres en une seconde. Combien cela fait-il de kilomètres ? (écris le nombre sans espace)

Ta réponse, en kilomètres
Correction

3 × 10⁸ mètres, c'est 300 000 000 mètres.

Un kilomètre vaut 1 000 mètres, donc je divise par 1 000 : 3 × 10⁸ ÷ 10³ = 3 × 10⁵.

La lumière parcourt donc 300 000 km en une seconde — soit sept fois et demie le tour de la Terre. ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là demandent de comparer des ordres de grandeur, pas seulement d'appliquer une règle.

Exo 1 · Moyen Calculer

Donne l'écriture décimale de : a) 2,5 × 10⁴ · b) 7 × 10⁻³ · c) 1,8 × 10⁶.

Exo 2 · Défi Chercher

La distance Terre-Soleil vaut environ 1,5 × 10⁸ km, la distance Terre-Lune environ 3,8 × 10⁵ km. Combien de fois la première est-elle plus grande que la seconde ? Donne un ordre de grandeur, puis le calcul exact.

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • an = a×…×a (n facteurs). a0 = 1.
  • a−n = 1/an.
  • am×an = am+n. (am)n = amn.
  • Sc : a × 10n, 1 ≤ |a| < 10.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage et relis la quatrième pensée en bleu : le signe de l'exposant ne s'apprend pas par cœur, il se redemande à chaque fois — « mon nombre de départ est-il grand, ou tout petit ? ».

La suite logique : en 3e, comparer des ordres de grandeur — savoir dire qu'un nombre est mille fois plus grand qu'un autre sans poser la moindre opération.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais l'exo guidé 1 (écriture scientifique) sans les indices.

J+7

Refais les exos autonomes 1 et 3.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 2 : l'erreur de Léa.

Pour aller plus loin

Q1. Trouve un grand nombre du quotidien en notation sc.

Q2. Pourquoi 100 = 1 ?

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