Théorème de Pythagore

Quatrième · Espace et géométrie · Cycle 4 — BO 2020 en 2026-2027

Énoncé direct, réciproque, applications. Utilisation de la racine carrée.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

Calculer la longueur d'un côté qui manque dans un triangle rectangle.
Reconnaître si un triangle est rectangle quand on connaît ses trois longueurs.
Décider seul s'il faut additionner ou soustraire les carrés.

Tu auras réussi si…

Tu repères l'angle droit et l'hypoténuse avant d'écrire le moindre calcul.
L'hypoténuse que tu trouves est bien le plus long des trois côtés.
Tu n'oublies pas la racine carrée à la fin, et tu écris l'unité.
Tu termines par une phrase qui répond à la question posée.

À quoi ça sert : Partout où il y a un angle droit, ce théorème donne une longueur qu'on ne peut pas mesurer directement : la diagonale d'un écran, la longueur d'un câble tendu, la hauteur atteinte par une échelle, ou le contrôle d'un mur bien d'équerre.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit mesurent 8 cm et 15 cm. Sais-tu trouver la longueur du troisième côté ?

Étape 02 / 07

Prérequis

Triangle rectangle.
Puissances (carré, cube).
Aire d'un carré.
Touche √ calculatrice.

Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Racine carrée (rappel)

√a = nombre positif dont le carré vaut a. √9=3, √25=5, √144=12.

2.2 — Théorème direct

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse = somme des carrés des 2 autres côtés.

ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC²

2.3 — Calculer l'hypoténuse

Vérifier triangle rectangle.
BC² = AB² + AC².
Calculer somme.
Racine carrée.

AB=3, AC=4 → BC² = 9+16 = 25 → BC = 5.

2.4 — Calculer un autre côté

AB² = BC² − AC². BC=13, AC=12 → AB² = 169−144 = 25 → AB = 5.

2.5 — Réciproque

Si BC² = AB² + AC² (BC = + grand) → triangle rectangle en A.

Méthode : 1) identifier + grand côté · 2) calculer son carré · 3) somme des carrés des autres · 4) comparer.

2.6 — Triplets à connaître

(3,4,5), (5,12,13), (6,8,10) = 2×(3,4,5), (8,15,17).

Étape 04 / 07

Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Trouver la longueur du côté qui manque, dans un triangle qui a un angle droit. »
2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Une longueur, avec son unité en cm, et une phrase qui répond à la question. »
3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Si je cherche l'hypoténuse, elle doit être le plus long des trois côtés. »

Triangle ABC rectangle en B, AB = 8 cm et BC = 15 cm. Je cherche AC.

1
Je repère l'angle droit, puis l'hypoténuse. J'écris : AC² = AB² + BC². « L'énoncé dit rectangle en B : l'angle droit est donc en B. L'hypoténuse, c'est le côté d'en face, AC — et c'est justement celui qu'on me demande. Je vais donc additionner. »
2
Je calcule chaque carré. AB² = 8² = 64 et BC² = 15² = 225. « Un carré, c'est le nombre multiplié par lui-même : 8 × 8, et 15 × 15. Surtout pas 8 × 2. »
3
J'additionne. AC² = 64 + 225 = 289. « Je cherche l'hypoténuse, donc j'additionne les deux carrés. »
4
Je prends la racine carrée. AC = √289 = 17 cm. « Attention : ce que j'ai sous les yeux, c'est AC au carré, pas AC. Il me manque le dernier geste, celui qui défait le carré. »
5
Je vérifie que ma réponse a du sens. « 17 est plus grand que 15 et que 8 : c'est cohérent, l'hypoténuse est bien le plus long des trois côtés. »

L'erreur à éviter : écrire AC = 8 + 15 = 23, ou s'arrêter à AC = 289. « Non : on additionne les carrés, pas les côtés. Et 289, c'est AC au carré — il reste la racine carrée à prendre. »

Conclusion : AC = 17 cm.

La méthode que je viens de dérouler

Je repère l'angle droit, donc l'hypoténuse.
Je regarde ce qu'on me demande : l'hypoténuse → j'additionne les carrés ; un côté de l'angle droit → je soustrais.
Je calcule les carrés, puis j'additionne (ou je soustrais).
Je prends la racine carrée, j'écris l'unité, je vérifie que la longueur trouvée est cohérente.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

La figure du modelage

Le codage de l'angle droit en B, et le côté cherché en rouge.

Trois autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Chercher l'hypoténuse

MNP rectangle en N, MN = 20 cm et NP = 21 cm. MP² = 400 + 441 = 841, donc MP = √841 = 29 cm.

Ex 2 — Chercher un côté de l'angle droit

DEF rectangle en E, hypoténuse DF = 13 m et EF = 5 m. On soustrait : DE² = 169 − 25 = 144, donc DE = √144 = 12 m.

Ex 3 — Réciproque

Un triangle mesure 7 cm, 24 cm et 25 cm. Le plus grand côté : 25² = 625. Les deux autres : 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Les deux résultats sont égaux, donc le triangle est rectangle.

Ex 4 — Une échelle contre un mur

Une échelle de 6,5 m a son pied à 2,5 m du mur. L'échelle est l'hypoténuse : h² = 42,25 − 6,25 = 36, donc la hauteur atteinte est de 6 m.

Étape 05 / 07

Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Tu poses les mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante se débloque quand celle-ci est juste. Un indice t'attend à chaque étape — et il s'ouvre tout seul si tu te trompes deux fois.

🗣️

Dis-le à voix haute. Avant de vérifier, énonce ton calcul comme si tu l'expliquais à un camarade : « 9 au carré, c'est 9 fois 9, donc 81 ».

Exo guidé 1 — chercher l'hypoténuse

Triangle RST rectangle en R, avec RS = 9 cm et RT = 40 cm. Calcule la longueur ST.

Étape 1 — Calcule RS², c'est-à-dire 9²

RS² =

Un carré, c'est le nombre fois lui-même : 9 × 9, pas 9 × 2.

Étape 2 — Calcule RT², c'est-à-dire 40²

RT² =

40 × 40 : commence par 4 × 4 = 16, puis ajoute les deux zéros.

Étape 3 — On cherche l'hypoténuse, donc on additionne

ST² = 81 + 1600 =

C'est ST qui est en face de l'angle droit : ST est l'hypoténuse, on ajoute les deux carrés.

Étape 4 — Racine carrée : ST = √1681 (en cm)

ST =cm

Quel nombre multiplié par lui-même donne 1681 ? Il est entre 40 et 42 — teste à la calculatrice.

Résultat

ST² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681, donc ST = √1681 = 41 cm. L'hypoténuse mesure bien plus que 40 cm : c'est cohérent.

Exo guidé 2 — chercher un côté de l'angle droit

Triangle KLM rectangle en K. L'hypoténuse LM mesure 25 cm et KL mesure 7 cm. Calcule KM.

Étape 1 — Calcule LM², c'est-à-dire 25²

LM² =

25 × 25 = 625.

Étape 2 — Calcule KL², c'est-à-dire 7²

KL² =

7 × 7 = 49.

Étape 3 — Ici on cherche un côté de l'angle droit : on soustrait

KM² = 625 − 49 =

KM n'est pas en face de l'angle droit : ce n'est pas l'hypoténuse. On retire donc le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse.

Étape 4 — Racine carrée : KM = √576 (en cm)

KM =cm

24 × 24 = 576. Et 24 est bien plus court que l'hypoténuse 25.

Résultat

KM² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576, donc KM = √576 = 24 cm. Le côté trouvé est plus court que l'hypoténuse : c'est cohérent.

Exo guidé 3 — le triangle est-il rectangle ?

Un triangle a pour côtés 20 cm, 21 cm et 29 cm. Est-il rectangle ?

Étape 1 — Repère le plus grand côté et calcule son carré

29² =

Le plus grand côté est le seul qui puisse être l'hypoténuse : c'est 29.

Étape 2 — Calcule la somme des carrés des deux autres côtés

20² + 21² =

400 + 441.

Étape 3 — Les deux résultats sont-ils égaux ? Le triangle est-il rectangle ? (réponds oui ou non)

Rectangle ?

Tu as trouvé 841 des deux côtés. Quand l'égalité est vraie, la réciproque du théorème permet de conclure.

Rédaction attendue

Le plus grand côté mesure 29 cm et 29² = 841. D'autre part, 20² + 21² = 400 + 441 = 841. Comme 29² = 20² + 21², d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (l'angle droit est celui opposé au côté de 29 cm).

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu écris ton calcul sur ton cahier et tu ne saisis que la réponse. Si elle est fausse, le site te dit où ça a coincé. L'indice et la correction restent là si tu bloques — mais essaie deux fois avant.

Exo 1

Triangle ABC rectangle en B, avec AB = 5 cm et BC = 12 cm. Calcule AC, en cm.

Ta réponse (un nombre, sans unité)

Correction

Le triangle ABC est rectangle en B, donc AC² = AB² + BC².

AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.

Donc AC = √169 = 13 cm. L'hypoténuse est bien le plus long côté.

Exo 2

Une échelle de 6,5 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 2,5 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur, en mètres ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)

Correction

Le mur et le sol forment un angle droit ; l'échelle est l'hypoténuse.

h² = 6,5² − 2,5² = 42,25 − 6,25 = 36.

Donc h = √36 = 6 m. L'échelle touche le mur à 6 m de hauteur.

Exo 3

Un triangle a pour côtés 10 cm, 24 cm et 27 cm. Est-il rectangle ? Réponds par oui ou non.

Ta réponse

Correction

Le plus grand côté mesure 27 cm : 27² = 729.

Les deux autres : 10² + 24² = 100 + 576 = 676.

729 ≠ 676, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle. Attention : « presque égal » ne suffit pas.

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

Direct : rect en A → BC² = AB² + AC² (BC hypoténuse).
Hypoténuse : ajouter les carrés puis √.
Autre côté : soustraire (hyp² − cathète²) puis √.
Réciproque : BC² = AB² + AC² → rect en A.
Triplets utiles à repérer : (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), (20,21,29).

Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

Je repère l'angle droit et l'hypoténuse avant de calculer.
Je décide seul s'il faut additionner ou soustraire les carrés.
Je n'oublie ni la racine carrée, ni l'unité.
Je termine par une phrase qui répond à la question.

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage et relis les pensées en bleu : c'est là que la décision se prend. Puis refais l'exo guidé qui correspond, sans regarder les indices.

La suite logique : la trigonométrie, qui traite les triangles rectangles quand on connaît un angle et non deux longueurs.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais l'exo guidé 1 sans regarder les indices.

J+7

Refais les exos autonomes 1 et 2.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo guidé 3.

Pour aller plus loin

Q1. Marche sur triangle non rect ? Test sur équilatéral.

Q2. Un maçon veut vérifier qu'un mur forme un angle droit. Il mesure 50 cm sur un mur, 120 cm sur l'autre — quelle distance doit-il trouver entre les deux repères ? Et pourquoi ce contrôle marche-t-il ?

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