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Racine carrée

Quatrième · Nombres et calcul · Cycle 4 — BO 2020 en 2026-2027

Définition, carrés parfaits, lien avec Pythagore.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Donner la racine carrée d'un carré parfait sans calculatrice.
  • Encadrer une racine entre deux entiers avant même de calculer.
  • Utiliser la racine carrée pour finir un calcul de Pythagore ou retrouver le côté d'un carré.

Tu auras réussi si…

  • Tu connais les carrés parfaits jusqu'à 144 et tu les reconnais au premier coup d'œil.
  • Avant de sortir la calculatrice, tu sais entre quels deux entiers tombera ta réponse.
  • Ta racine carrée est toujours un nombre positif.
  • Tu n'écris jamais la racine d'une somme comme la somme des racines.

À quoi ça sert : Retrouver le côté d'un carré dont on connaît l'aire, finir un calcul de Pythagore, remonter d'une surface à une longueur : la racine carrée est l'opération qui défait le carré, et elle sert partout où l'on part d'une aire pour revenir à une dimension.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu calculer √49 et encadrer √30 ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Carré (a²).
  • Calculatrice.
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Définition

√a (a ≥ 0) = nombre positif dont le carré est a.

√9 = 3 (car 3² = 9). √25 = 5. √0 = 0. √1 = 1.

√a est positif. √(−4) n'existe pas (négatif).

2.2 — Carrés parfaits

À connaître : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.

→ √1=1, √4=2, …, √144=12.

2.3 — Si pas un carré parfait

Encadrer puis calculatrice. √50 : 49 < 50 < 64 → 7 < √50 < 8. Calc : √50 ≈ 7,07.

2.4 — Propriétés
  • √(a²) = a (si a ≥ 0).
  • (√a)² = a (si a ≥ 0).
2.5 — Pythagore

Triangle rect cathètes 2, 3 → hypoténuse = √(4+9) = √13 ≈ 3,6.

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Finir un calcul de Pythagore : j'aurai BC au carré, et il faudra revenir à BC. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Une longueur avec deux chiffres après la virgule, et son unité. Sans doute pas un nombre rond. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « J'aurai encadré la réponse avant de calculer : elle devra tomber dans mon encadrement. »
Triangle ABC rectangle en A, avec AB = 4 cm et AC = 6 cm. Je calcule BC au centième.
  1. 1
    Je pose Pythagore et je vais jusqu'à BC². BC² = 16 + 36 = 52. « 4² = 16 et 6² = 36. J'additionne parce que BC est l'hypoténuse, en face de l'angle droit en A. »
  2. 2
    Je m'arrête une seconde : 52 est-il un carré parfait ? Non. « Je connais mes carrés parfaits : 49 c'est 7², 64 c'est 8². 52 n'est ni l'un ni l'autre, il est entre les deux. Donc √52 ne tombera pas juste — et c'est normal, ce n'est pas une erreur de ma part. »
  3. 3
    J'encadre avant de sortir la calculatrice. 7 < √52 < 8. « 49 < 52 < 64, donc 7 < √52 < 8. Je sais DÉJÀ que ma réponse commencera par 7. Si la calculatrice m'affiche 2704 ou 0,72, c'est que j'ai tapé de travers — et je m'en apercevrai tout de suite au lieu de recopier une absurdité. »
  4. 4
    Je calcule, puis j'arrondis comme demandé. BC ≈ 7,21 cm. « √52 = 7,2111… L'énoncé demande le centième, donc deux chiffres après la virgule : 7,21. Le chiffre suivant est un 1, je n'arrondis pas au-dessus. »
  5. 5
    Je vérifie que la réponse tombe dans mon encadrement. « 7,21 tombe bien entre 7 et 8, comme prévu. Et BC doit être le plus long côté du triangle : 7,21 est plus grand que 6 et que 4. Deux contrôles, trois secondes. »
L'erreur à éviter : écrire BC = √(16 + 36) = 4 + 6 = 10. « Non : la racine carrée ne se distribue pas sur une addition. √(16 + 36) vaut √52 ≈ 7,2, pas 10. D'ailleurs 10 serait exactement la somme des deux autres côtés — impossible dans un triangle, où le côté le plus long est toujours plus court que la somme des deux autres. »
Conclusion : BC ≈ 7,21 cm.

La méthode que je viens de dérouler

  1. √a, c'est le nombre POSITIF dont le carré vaut a.
  2. Je regarde d'abord si c'est un carré parfait : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
  3. Sinon, j'encadre entre les deux carrés parfaits voisins : je sais alors entre quels entiers tombe la réponse.
  4. Calculatrice, puis arrondi demandé.
  5. Contrôle : la réponse tombe dans l'encadrement. Et √(a + b) n'est JAMAIS √a + √b.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Des carrés parfaits

√36 = 6 car 6 × 6 = 36. De même √81 = 9 et √100 = 10. Ces douze nombres-là (jusqu'à 144) se reconnaissent, ils ne se calculent pas.

Ex 2 — Un encadrement

√30 : je cherche les carrés parfaits qui entourent 30. Ce sont 25 et 36, donc 25 < 30 < 36, et par conséquent 5 < √30 < 6. Sans calculatrice, je sais déjà que la réponse commence par 5.

Ex 3 — Le côté d'un carré

Un carré a une aire de 169 cm². L'aire d'un carré, c'est côté × côté, donc le côté est le nombre dont le carré vaut 169 : côté = √169 = 13 cm. La racine carrée sert exactement à cela — revenir d'une aire à une longueur.

Ex 4 — Les deux propriétés

(√7)² = 7 : on prend la racine, puis on remet au carré, les deux opérations s'annulent. De même √(8²) = 8. Attention : cela ne marche que parce que ces nombres sont positifs.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Avant de taper sur la calculatrice, annonce ton encadrement : « c'est entre 7 et 8 ». Une réponse qui sort de l'encadrement se repère alors immédiatement.
Exo guidé 1 — encadrer une racine

Encadre √30 entre deux nombres entiers, sans calculatrice.

Étape 1 — Quel est le plus grand carré parfait INFÉRIEUR à 30 ?
Passe-les en revue : 16, 25, 36… lequel est juste en dessous de 30 ?
Étape 2 — Quel est le plus petit carré parfait SUPÉRIEUR à 30 ?
Celui qui vient juste après 30 dans la liste des carrés parfaits.
Étape 3 — Donc √30 est entre deux entiers. Écris le plus petit des deux
? < √30 < ?, le plus petit est
√25 = 5 et √36 = 6.
Rédaction attendue

25 < 30 < 36, et ces deux nombres sont des carrés parfaits (5² et 6²).

Donc 5 < √30 < 6. (La calculatrice confirmerait : √30 ≈ 5,48.) ✔

Exo guidé 2 — encadrer puis calculer

Donne une valeur approchée de √150 au centième.

Étape 1 — Entre quels carrés parfaits se trouve 150 ? Écris celui du dessous
144 est le carré de 12, et 169 celui de 13.
Étape 2 — Par quel nombre entier commencera donc √150 ?
√150 commence par
√144 = 12, et 150 est juste au-dessus de 144.
Étape 3 — Calcule √150 au centième
√150 ≈
La calculatrice affiche 12,2474… ; deux chiffres après la virgule, et le troisième est un 7, donc on arrondit au-dessus.
Rédaction attendue

144 < 150 < 169, donc 12 < √150 < 13 : la réponse commence par 12.

À la calculatrice, √150 ≈ 12,25. Le résultat tombe bien dans l'encadrement. ✔

Exo guidé 3 — finir un calcul de Pythagore

Triangle ABC rectangle en A, avec AB = 4 cm et AC = 6 cm. Calcule BC au centième.

Étape 1 — Pythagore : calcule BC² = 4² + 6²
BC² =
16 + 36.
Étape 2 — 52 est-il un carré parfait ? (oui ou non)
Il est entre 49 et 64, donc entre 7² et 8².
Étape 3 — Calcule √52 au centième
BC ≈
La réponse doit tomber entre 7 et 8, d'après ton encadrement.
Rédaction attendue

Le triangle est rectangle en A, donc BC² = AB² + AC² = 16 + 36 = 52.

52 n'est pas un carré parfait, mais 49 < 52 < 64, donc 7 < BC < 8.

BC = √52 ≈ 7,21 cm, ce qui tombe bien dans l'encadrement. ✔

Exo guidé 4 — les deux opérations s'annulent

Calcule (√11)², puis √(8²), puis (√5)² + (√3)².

Étape 1 — Calcule (√11)²
Prendre la racine puis remettre au carré : les deux opérations s'annulent.
Étape 2 — Calcule √(8²)
8² = 64, et √64 = 8. On revient au point de départ.
Étape 3 — Calcule (√5)² + (√3)²
Chaque carré annule sa racine : cela fait 5 + 3.
Rédaction attendue

(√11)² = 11 et √(8²) = 8 : le carré et la racine carrée sont deux opérations inverses l'une de l'autre.

(√5)² + (√3)² = 5 + 3 = 8. Attention : cela ne veut pas dire que √5 + √3 vaut √8. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu poses ton calcul sur ton cahier et tu ne saisis que le résultat. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1 — le côté d'un carré

Un carré a une aire de 169 cm². Quelle est la longueur de son côté, en cm ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)
Correction

L'aire d'un carré vaut côté × côté, donc côté = √169.

169 est un carré parfait : 13 × 13 = 169.

Le côté mesure 13 cm. Vérification : 13 × 13 = 169 cm². ✔

Exo 2 — trouve l'erreur

Sami écrit : « √(16 + 9) = 4 + 3 = 7 ». Quelle est la vraie valeur de √(16 + 9) ?

Ta réponse
Correction

Sous une racine, on calcule d'abord : 16 + 9 = 25.

Donc √(16 + 9) = √25 = 5, et non 7.

La racine carrée ne se distribue jamais sur une addition : √(a + b) n'est pas √a + √b. C'est d'ailleurs pour cela qu'en Pythagore, on additionne les carrés AVANT de prendre la racine. ✔

Exo 3 — la diagonale d'un carré

La diagonale d'un carré mesure 10 cm. Quelle est la longueur de son côté, au centième de cm ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)
Correction

La diagonale partage le carré en deux triangles rectangles dont les deux côtés de l'angle droit sont les côtés du carré.

Pythagore donne c² + c² = 10², soit 2c² = 100, donc c² = 50.

Or 49 < 50 < 64, donc le côté est entre 7 et 8 : c = √50 ≈ 7,07 cm. Contrôle : 7,07 est bien plus court que la diagonale. ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Deux questions où il faut raisonner sur la notion elle-même.

Exo 1 · Moyen Communiquer

Sami écrit « √(−4) = −2 ». Explique en une phrase pourquoi c'est doublement faux.

Exo 2 · Défi Calculer Modéliser

Un terrain carré a une aire de 200 m². Donne un encadrement de son côté entre deux entiers, puis une valeur approchée au dixième. Le côté peut-il être un nombre entier de mètres ?

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • √a (a ≥ 0) = positif dont le carré est a.
  • √(a²) = a et (√a)² = a (a ≥ 0).
  • √ négatif n'existe pas.
  • Carrés parfaits jusqu'à 144 par cœur.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la troisième pensée en bleu explique à quoi sert l'encadrement — il ne sert pas à faire joli, il sert à repérer une faute de frappe avant de recopier une absurdité.

La suite logique : en 3e, calculer avec les racines — et là, la règle « la racine ne se distribue pas sur une somme » deviendra vraiment décisive.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais l'exo guidé 1 : encadrer sans calculatrice.

J+7

Refais l'exo autonome 1 (le côté du carré) et l'exo guidé 3.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 2 : √(16 + 9).

Pour aller plus loin

Q1. √2 sur calculatrice : combien de chiffres ?

Q2. √2 est-il décimal ?

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