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Théorème des milieux

Quatrième · Espace et géométrie · Cycle 4 — BO 2026 (à partir de 2027)

Théorème direct, réciproque, applications.

Pas un chapitre du BO 2020. Le programme en vigueur en 4ᵉ cette année ne traite pas le « théorème des milieux » séparément : c'est un cas particulier du théorème de Thalès, à travailler dans le chapitre Thalès. Le BO 2026 l'isole en 4ᵉ à partir de 2027. Page conservée comme complément.
Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Reconnaître la configuration : deux milieux dans un même triangle.
  • En déduire d'un coup les deux conclusions : le parallélisme et la longueur moitié.
  • Utiliser la réciproque pour démontrer qu'un point est un milieu.

Tu auras réussi si…

  • Tu vérifies qu'il y a bien DEUX milieux avant d'appliquer le théorème.
  • Tu énonces les deux conclusions, pas seulement la longueur.
  • Tu divises par 2 pour le segment des milieux, tu multiplies par 2 pour le grand côté.
  • Ton segment des milieux est toujours le plus court des deux.

À quoi ça sert : C'est le premier théorème qui donne deux résultats d'un seul coup : une longueur ET un parallélisme. On s'en sert en géométrie pour démontrer qu'une figure est un parallélogramme, et il prépare Thalès, dont il n'est qu'un cas particulier.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu utiliser le théorème des milieux pour montrer un parallélisme ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Milieu d'un segment.
  • Droites parallèles.
  • Règle et compas.
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Théorème direct

Triangle ABC, M milieu [AB], N milieu [AC] :

  • (MN) // (BC)
  • MN = BC ÷ 2
A B C M N
2.2 — Réciproque

Triangle ABC, M milieu [AB]. Parallèle à (BC) par M coupe [AC] en N → N milieu de [AC].

2.3 — Méthode d'utilisation

Sert à : démontrer parallélisme · calculer longueur (la moitié).

  1. Identifier le triangle.
  2. Identifier les milieux M, N.
  3. Conclure : (MN)//(BC) et MN=BC/2.
Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Une longueur, et une justification de parallélisme — deux choses, pas une. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Une phrase citant les deux milieux, puis la longueur en cm et l'affirmation du parallélisme. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « MN devra être plus court que BC : il est à l'intérieur du triangle. »
Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N le milieu de [AC]. On donne BC = 14 cm. Je calcule MN et je justifie que (MN) est parallèle à (BC).
  1. 1
    Je vérifie l'hypothèse : deux milieux dans le même triangle. « Le théorème exige DEUX milieux : M milieu de [AB] ET N milieu de [AC]. Un seul ne suffirait pas. L'énoncé me donne bien les deux, j'ai donc le droit d'appliquer le théorème — et je le dis dans ma rédaction. »
  2. 2
    J'énonce les deux conclusions d'un coup. « Le théorème donne deux choses en même temps : (MN) est parallèle à (BC), ET MN vaut la moitié de BC. On oublie très souvent la première, alors qu'elle est aussi importante que la seconde. »
  3. 3
    Je calcule la longueur. MN = BC ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7 cm. « MN est le segment des milieux, celui qui est à l'intérieur : c'est LUI le plus court, donc c'est lui qu'on obtient en divisant. Si l'énoncé m'avait donné MN et demandé BC, j'aurais multiplié par 2. La question à se poser est toujours : lequel des deux est le petit ? »
  4. 4
    Je rédige la conclusion complète. « Je n'écris pas seulement « 7 cm » : je rédige la raison. « Comme M et N sont les milieux respectifs de [AB] et [AC], d'après le théorème des milieux, (MN) est parallèle à (BC) et MN = BC ÷ 2 = 7 cm. » »
  5. 5
    Je contrôle que le segment des milieux est le plus court. « 7 est bien plus petit que 14. Si j'avais trouvé 28, j'aurais su immédiatement que j'avais multiplié au lieu de diviser — un segment tracé à l'intérieur du triangle ne peut pas être plus long que le côté auquel il est parallèle. »
L'erreur à éviter : Sami écrit « (MN) est parallèle à (BC), donc M est le milieu de [AB] ». « Non : il manque une hypothèse. La réciproque demande qu'on sache DÉJÀ qu'un des deux points est un milieu ; alors seulement la parallèle menée par ce point coupe le troisième côté en son milieu. Avec le parallélisme tout seul, MN pourrait être n'importe où dans le triangle — c'est Thalès qui gère ce cas-là, pas le théorème des milieux. »
Conclusion : MN = 7 cm, et (MN) est parallèle à (BC).

La méthode que je viens de dérouler

  1. Je repère le triangle et je vérifie qu'il y a bien DEUX milieux.
  2. J'énonce les deux conclusions : le parallélisme et la longueur moitié.
  3. Segment des milieux cherché → je divise par 2. Grand côté cherché → je multiplie par 2.
  4. Réciproque : il faut connaître UN milieu et UN parallélisme pour conclure sur le second milieu.
  5. Contrôle : le segment des milieux est toujours le plus court des deux.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Calculer le petit segment

Triangle DEF, P milieu de [DE] et Q milieu de [DF], avec EF = 18 cm. D'après le théorème des milieux, (PQ) est parallèle à (EF) et PQ = 18 ÷ 2 = 9 cm.

Ex 2 — Remonter au grand côté

Mêmes milieux, mais cette fois c'est MN = 8 cm qui est donné. On cherche BC : le grand côté vaut le double, donc BC = 2 × 8 = 16 cm. La question à se poser est toujours : lequel des deux segments est le plus court ?

Ex 3 — Utiliser la réciproque

Triangle GHK, L milieu de [GH]. La parallèle à (HK) passant par L coupe [GK] en M. Alors, d'après la réciproque du théorème des milieux, M est le milieu de [GK]. Ici on part d'un milieu et d'un parallélisme, et on obtient un second milieu.

Ex 4 — Tout un triangle réduit

Triangle ABC avec AB = 8, BC = 12 et AC = 10 ; M et N milieux de [AB] et [AC]. Alors MN = 6, AM = 4 et AN = 5 : chaque côté du petit triangle AMN vaut exactement la moitié de celui de ABC. Son périmètre vaut donc la moitié : 15 cm contre 30 cm.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Avant tout calcul, demande-toi : « lequel des deux segments est le plus court ? ». C'est cette question, et non une formule apprise par cœur, qui décide entre diviser et multiplier.
Exo guidé 1 — calculer le segment des milieux

Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N le milieu de [AC]. On donne BC = 14 cm. Calcule MN.

Étape 1 — Combien de milieux l'énoncé donne-t-il ?
nombre de milieux :
M milieu de [AB], et N milieu de [AC].
Étape 2 — MN est le segment des milieux : faut-il diviser ou multiplier par 2 ? (écris le mot)
il faut
MN est tracé à l'intérieur du triangle : c'est le plus court des deux.
Étape 3 — Calcule MN = 14 ÷ 2
MN =
La moitié de 14.
Rédaction attendue

M et N sont les milieux respectifs de [AB] et [AC], donc d'après le théorème des milieux, (MN) est parallèle à (BC) et MN = BC ÷ 2 = 7 cm.

Contrôle : 7 < 14, cohérent. ✔

Exo guidé 2 — remonter au grand côté

Mêmes milieux, mais cette fois MN = 5,5 cm. Calcule BC.

Étape 1 — Ici c'est MN qu'on connaît, et BC qu'on cherche. Diviser ou multiplier par 2 ? (écris le mot)
il faut
BC est le grand côté : il vaut le double du segment des milieux.
Étape 2 — Calcule BC = 5,5 × 2
BC =
Le double de 5,5.
Rédaction attendue

MN = BC ÷ 2, donc BC = 2 × MN = 2 × 5,5 = 11 cm. Contrôle : 11 > 5,5. ✔

Exo guidé 3 — tout le petit triangle

Triangle ABC avec AB = 8 cm, BC = 12 cm et AC = 10 cm. M est le milieu de [AB], N celui de [AC]. Calcule MN, AM, AN, puis le périmètre du triangle AMN.

Étape 1 — Triangle ABC avec AB = 8, BC = 12, AC = 10. Calcule MN, moitié de BC
MN =
La moitié de 12.
Étape 2 — Calcule AM, moitié de AB
AM =
M est le milieu de [AB], qui mesure 8.
Étape 3 — Calcule AN, moitié de AC
AN =
N est le milieu de [AC], qui mesure 10.
Étape 4 — Périmètre du petit triangle AMN : additionne tes trois résultats
périmètre =
6 + 4 + 5. Compare-le au périmètre de ABC, qui vaut 30.
Rédaction attendue

MN = 12 ÷ 2 = 6 cm, AM = 8 ÷ 2 = 4 cm, AN = 10 ÷ 2 = 5 cm.

Périmètre de AMN = 6 + 4 + 5 = 15 cm, soit exactement la moitié du périmètre de ABC (30 cm). Chaque longueur ayant été divisée par 2, le périmètre l'est aussi. ✔

Exo guidé 4 — la réciproque

Triangle GHK, L milieu de [GH]. La parallèle à (HK) passant par L coupe [GK] en M, et GK = 18 cm.

Étape 1 — Triangle GHK, L milieu de [GH], et la parallèle à (HK) passant par L coupe [GK] en M. M est-il le milieu de [GK] ? (oui ou non)
On connaît UN milieu et UN parallélisme : c'est exactement ce que demande la réciproque.
Étape 2 — GK mesure 18 cm. Calcule GM
GM =
M étant le milieu, GM est la moitié de GK.
Rédaction attendue

L est le milieu de [GH] et (LM) est parallèle à (HK), donc d'après la réciproque du théorème des milieux, M est le milieu de [GK].

Par conséquent GM = 18 ÷ 2 = 9 cm. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu rédiges sur ton cahier et tu ne saisis ici que le résultat. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1

Dans le triangle PQR, S est le milieu de [PQ] et T le milieu de [PR]. On donne ST = 4 cm. Calcule QR, en cm.

Ta réponse (un nombre, sans unité)
Correction

S et T sont les milieux de [PQ] et [PR], donc d'après le théorème des milieux, (ST) est parallèle à (QR) et ST = QR ÷ 2.

Donc QR = 2 × ST = 2 × 4 = 8 cm. Contrôle : 8 > 4, cohérent. ✔

Exo 2 — trouve l'erreur

Sami affirme : « puisque (MN) est parallèle à (BC), M est forcément le milieu de [AB] ». Le parallélisme, à lui seul, suffit-il pour conclure ? Réponds par oui ou non.

Ta réponse
Correction

Non. Une droite parallèle à (BC) peut couper [AB] n'importe où : tout près de A, tout près de B, ou au milieu.

La réciproque du théorème des milieux exige DEUX hypothèses : un milieu déjà connu, et le parallélisme. Alors seulement on peut conclure que le second point est un milieu.

Avec le seul parallélisme, on n'obtient pas de milieu : on obtient une égalité de rapports, c'est-à-dire le théorème de Thalès. ✔

Exo 3

Triangle ABC avec AB = 8 cm, BC = 12 cm, AC = 10 cm. M et N sont les milieux de [AB] et [AC]. Quel est le périmètre du triangle AMN, en cm ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)
Correction

MN = 12 ÷ 2 = 6 cm, AM = 8 ÷ 2 = 4 cm et AN = 10 ÷ 2 = 5 cm.

Périmètre de AMN = 6 + 4 + 5 = 15 cm.

C'est exactement la moitié du périmètre de ABC (8 + 12 + 10 = 30 cm) : toutes les longueurs ayant été divisées par 2, leur somme l'est aussi. ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là demandent de tracer ou de démontrer.

Exo 1 · Moyen Représenter

Trace un triangle ABC quelconque, place M et N les milieux de [AB] et [AC], puis vérifie à la règle que (MN) est parallèle à (BC) et que MN vaut bien la moitié de BC.

Exo 2 · Défi Raisonner

Dans un triangle ABC, M et N sont les milieux de [AB] et [AC]. Démontre que le quadrilatère MBCN est un trapèze, puis explique pourquoi il n'est pas un parallélogramme.

Exo 3 · Défi Chercher

On trace les trois droites des milieux d'un triangle. Combien de petits triangles apparaissent à l'intérieur ? Que peut-on dire de leurs tailles ?

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • Direct : M, N milieux → (MN)//(BC) et MN=BC/2.
  • Réciproque : M milieu + parallèle → N milieu.
  • Utiliser pour parallélisme ou longueur.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la troisième pensée en bleu donne la question qui remplace la formule apprise par cœur — « lequel des deux segments est le plus court ? ».

Et retiens le lien : ce théorème est le cas particulier de Thalès où le rapport vaut exactement un demi.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais les exos guidés 1 et 2 : diviser, puis multiplier par 2.

J+7

Refais l'exo guidé 4 (la réciproque) et l'exo autonome 2.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 3 (le périmètre du petit triangle).

Pour aller plus loin

Q1. 3 droites des milieux : propriétés de la figure obtenue ?

Q2. Lien avec Thalès (3e) ?

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