Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute.
Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu
referas seul juste après.
Avant de me lancer, je me pose trois questions
- 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Où arrive le point D si on lui fait faire exactement le même déplacement qu'à A pour aller en B. »
- 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Le nom d'un point de la figure, et la raison pour laquelle c'est celui-là. »
- 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Le déplacement de D vers son image devra avoir la même direction, le même sens et la même longueur que celui de A vers B. »
ABCD est un parallélogramme. Quelle est l'image du point D par la translation qui transforme A en B ?
- 1
Je décris la translation par ses trois caractéristiques. « Une translation, ce n'est pas seulement « on décale ». C'est trois choses à la fois : une DIRECTION (la droite le long de laquelle on va), un SENS (dans quel côté on va sur cette droite) et une LONGUEUR. Ici, tout cela est donné par la flèche qui va de A vers B. »
- 2
Je cherche le point qui reproduit la même flèche à partir de D. « Je cherche donc un point qui est à D exactement ce que B est à A : même direction, même sens, même longueur de déplacement. Ce n'est pas « le point le plus proche », c'est celui qui reproduit la flèche. »
- 3
J'utilise la propriété du parallélogramme. L'image de D est C.
« Dans le parallélogramme ABCD, le côté [DC] est parallèle à [AB] et de même longueur — c'est la définition même du parallélogramme. Et en parcourant A vers B d'une part, D vers C d'autre part, on va bien dans le même sens. L'image de D est donc C. »
- 4
Je formule la propriété générale. « Et je peux le dire dans l'autre sens : puisque le déplacement de A à B est le même que celui de D à C, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Translation et parallélogramme se répondent l'un l'autre. »
- 5
Je vérifie avec ce que la translation conserve. « Une translation conserve les longueurs : DC doit donc valoir AB. Or dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Tout concorde. Si j'avais répondu A, la flèche D vers A n'aurait ni la même direction ni la même longueur que A vers B. »
L'erreur à éviter : croire qu'une translation peut agrandir ou rétrécir la figure.
« Non : une translation conserve TOUT — longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme. C'est ce qu'on appelle une isométrie. Si la figure image n'a pas exactement la même taille que la figure de départ, alors ce n'était pas une translation. »
Conclusion : L'image de D est le point C.
La méthode que je viens de dérouler
- Une translation se décrit par trois choses : direction, sens, longueur.
- Pour une figure, je construis l'image de chaque sommet, puis je relie dans le même ordre.
- Un point, son image, un autre point et son image forment toujours un parallélogramme.
- Tout est conservé : longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme. Seule la position change.
- Contrôle : si une longueur ou un angle a changé, ce n'était pas une translation.
Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode,
celle qui marchera sur les autres énoncés.
À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide
étape par étape.