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Angles et parallélisme

Cinquième · Espace et géométrie · BO 2026 (cycle 4)

Angles correspondants, alternes-internes, droites parallèles.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Reconnaître deux angles correspondants et deux angles alternes-internes sur une figure.
  • Calculer un angle quand deux droites parallèles sont coupées par une sécante.
  • Démontrer que deux droites sont parallèles à partir de deux angles égaux.

Tu auras réussi si…

  • Avant d'utiliser une propriété, tu vérifies que le parallélisme est bien donné par l'énoncé.
  • Tu nommes la paire d'angles que tu utilises : correspondants, ou alternes-internes.
  • Sur ta figure, les huit angles ne prennent que deux valeurs, qui font 180° ensemble.
  • Tu sais dans quel sens tu raisonnes : du parallélisme vers les angles, ou l'inverse.

À quoi ça sert : Deux rails, deux trottoirs, deux lignes de carrelage : dès que des droites parallèles sont traversées, connaître un seul angle suffit à les connaître tous. C'est aussi ce qui permet de démontrer la propriété la plus utilisée du collège — la somme des angles d'un triangle.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu reconnaître angles correspondants et alternes-internes ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Angle, mesure (rapporteur).
  • Angles particuliers (droit, plat).
  • Droites parallèles, perpendiculaires.
  • Somme angles triangle (180°).
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Opposés par le sommet

2 droites se coupent → 4 angles. Opposés par le sommet = égaux.

2.2 — Sécante à 2 droites

Droite (s) coupe (d₁) et (d₂) → 8 angles (4 à chaque intersection).

2.3 — Angles correspondants

Même côté de la sécante, même position (au-dessus ou en-dessous).

Propriété clé

Si (d₁)//(d₂) → angles correspondants égaux. Réciproque : correspondants égaux → parallèles.

2.4 — Angles alternes-internes

Entre les deux droites (intérieur), de part et d'autre de la sécante.

Propriété clé

(d₁)//(d₂) → alternes-internes égaux. Réciproque : égaux → parallèles.

2.5 — Utilisation

Sert à calculer un angle ou démontrer un parallélisme.

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Retrouver d'autres angles de la figure à partir d'un seul, en utilisant le fait que les droites sont parallèles. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Des mesures en degrés, chacune justifiée par le nom de la paire d'angles utilisée. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Tous les angles de la figure devront valoir soit 65°, soit 115° — pas une troisième valeur. »
Deux droites parallèles (d) et (d') sont coupées par une sécante. L'un des huit angles formés mesure 65°. Je détermine son angle correspondant, puis son angle alterne-interne.
  1. 1
    Je vérifie que les droites sont bien parallèles. « C'est la condition indispensable, et je commence toujours par elle. Sans parallélisme, les angles correspondants n'ont AUCUNE raison d'être égaux : la propriété ne s'applique simplement pas. Ici l'énoncé me le donne, je peux continuer. »
  2. 2
    J'identifie la position des angles. « Correspondants : du même côté de la sécante, et à la même place — l'un sur (d), l'autre sur (d'), comme si on faisait glisser une droite sur l'autre. Alternes-internes : entre les deux droites, mais de part et d'autre de la sécante. Nommer la paire avant de calculer, c'est ce qui évite de comparer deux angles qui n'ont rien à voir. »
  3. 3
    J'applique la propriété des correspondants. 65°. « Puisque les droites sont parallèles, les angles correspondants sont égaux. L'angle correspondant mesure donc lui aussi 65°. »
  4. 4
    J'applique celle des alternes-internes. 65°. « Même raisonnement avec l'autre propriété : droites parallèles, donc alternes-internes égaux. Encore 65°. »
  5. 5
    Je contrôle : deux valeurs seulement sur toute la figure. « Et les angles adjacents ? Ils forment un angle plat avec le 65°, donc ils valent 180 − 65 = 115°. Sur cette figure, les huit angles ne prennent donc que DEUX valeurs : 65° et 115°, qui font bien 180° ensemble. Si j'obtenais une troisième valeur, c'est que j'aurais mal identifié une paire quelque part. »
L'erreur à éviter : deux angles correspondants mesurent 80° et 85°, et l'on conclut que les droites sont « à peu près parallèles ». « Non : en géométrie, il n'y a pas d'à-peu-près. Soit les angles sont égaux et les droites sont parallèles, soit ils ne le sont pas et les droites finissent par se croiser. Ici elles ne sont PAS parallèles — cinq degrés d'écart suffisent. »
Conclusion : Les deux valent 65°, et tous les autres angles de la figure valent 115°.

La méthode que je viens de dérouler

  1. Je vérifie d'abord si le parallélisme est donné par l'énoncé.
  2. J'identifie la paire : correspondants (même côté, même position) ou alternes-internes (entre les droites, de part et d'autre).
  3. Droites parallèles → ces angles sont égaux.
  4. Dans l'autre sens : ces angles égaux → les droites sont parallèles. C'est la réciproque, celle qui sert à DÉMONTRER un parallélisme.
  5. Contrôle : sur une telle figure, les huit angles ne prennent que deux valeurs, supplémentaires l'une de l'autre.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Opposés par le sommet

Deux droites se coupent et forment un angle de 110°. L'angle opposé par le sommet mesure aussi 110°, et les deux autres valent 180 − 110 = 70°. Cette propriété-là ne demande aucun parallélisme : elle est toujours vraie.

Ex 2 — Calculer avec le parallélisme

(d) et (d') sont parallèles et un angle mesure 65°. Son correspondant mesure 65° : « les droites étant parallèles, les angles correspondants sont égaux ». La phrase de justification fait partie de la réponse.

Ex 3 — Démontrer un parallélisme

Deux angles alternes-internes mesurent tous les deux 47°. On raisonne alors dans l'autre sens : puisque ces angles sont égaux, les droites sont parallèles. C'est la réciproque, et c'est ainsi qu'on prouve un parallélisme sans le mesurer.

Ex 4 — Une figure complète

(d)//(d') et un angle vaut 50°. Alors son correspondant vaut 50°, son alterne-interne aussi, et tous les autres angles valent 130°. Huit angles, deux valeurs seulement : 50° et 130°.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Prononce la phrase entière : « les droites sont parallèles, DONC les angles correspondants sont égaux ». C'est cette phrase, et pas seulement le nombre, qu'on attend de toi dans une démonstration.
Exo guidé 1 — sans parallélisme

Deux droites se coupent en un point O, et l'un des quatre angles mesure 35°. Calcule les autres.

Étape 1 — Deux droites se coupent, et l'un des angles mesure 35°. Combien mesure l'angle opposé par le sommet ?
Les angles opposés par le sommet sont toujours égaux, parallélisme ou pas.
Étape 2 — Combien mesure un angle adjacent, qui forme un angle plat avec lui ?
180 − 35.
Rédaction attendue

L'angle opposé par le sommet mesure 35°, et les deux autres 145° chacun, car ils forment un angle plat avec le premier.

Aucun parallélisme n'est nécessaire ici : cette propriété est toujours vraie. ✔

Exo guidé 2 — avec le parallélisme

Les droites (d) et (d') sont parallèles, coupées par une sécante. Un angle mesure 72°.

Étape 1 — L'énoncé dit que (d) et (d') sont parallèles. Peut-on utiliser la propriété des correspondants ? (oui ou non)
C'est précisément la condition qu'exige la propriété.
Étape 2 — Un angle mesure 72°. Combien mesure son correspondant ?
Droites parallèles, donc angles correspondants égaux.
Étape 3 — Et son alterne-interne ?
La même propriété vaut pour les alternes-internes.
Étape 4 — Combien mesure un angle adjacent au premier ?
180 − 72. C'est la seconde des deux valeurs de la figure.
Rédaction attendue

Les droites étant parallèles, l'angle correspondant et l'angle alterne-interne mesurent tous deux 72°.

Les angles adjacents valent 180 − 72 = 108°. La figure ne compte que ces deux valeurs. ✔

Exo guidé 3 — démontrer un parallélisme

Deux angles alternes-internes mesurent chacun 47°. Que peut-on en déduire ?

Étape 1 — Deux angles alternes-internes mesurent 47° et 47°. Sont-ils égaux ? (oui ou non)
Compare simplement les deux mesures.
Étape 2 — Peut-on en déduire que les droites sont parallèles ? (oui ou non)
C'est la réciproque : des alternes-internes égaux entraînent le parallélisme.
Rédaction attendue

Les angles alternes-internes sont égaux, donc d'après la réciproque, les droites sont parallèles.

Remarque le sens du raisonnement : ici on part des angles pour aller vers le parallélisme, et non l'inverse. ✔

Exo guidé 4 — quand ce n'est pas parallèle

Deux angles correspondants mesurent 80° et 85°. Que peut-on dire des droites ?

Étape 1 — Deux angles correspondants mesurent 80° et 85°. Sont-ils égaux ? (oui ou non)
80 et 85 : cinq degrés d'écart.
Étape 2 — Les droites sont-elles parallèles ? (oui ou non)
En géométrie il n'y a pas d'à-peu-près : si les angles diffèrent, les droites finissent par se croiser.
Rédaction attendue

Les angles correspondants ne sont pas égaux, donc les droites ne sont pas parallèles.

Cinq degrés d'écart suffisent : prolongées assez loin, ces deux droites finiront par se croiser. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu rédiges la justification sur ton cahier et tu ne saisis ici que le résultat. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1

Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. L'un des angles mesure 53°. Quelle est la mesure du plus GRAND des angles de la figure ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)
Correction

Les angles adjacents au 53° forment avec lui un angle plat : ils mesurent 180 − 53 = 127°.

Sur toute la figure, les huit angles ne prennent que deux valeurs : 53° et 127°, dont la somme fait bien 180°. ✔

Exo 2 — parallèles, ou pas ?

Sur une figure, deux angles correspondants mesurent 80° et 85°. Les deux droites sont-elles parallèles ? Réponds par oui ou non.

Ta réponse
Correction

Non. Les angles correspondants mesurent 80° et 85° : ils ne sont pas égaux.

Or la réciproque exige une égalité exacte. Ces deux droites ne sont donc pas parallèles — prolongées suffisamment loin, elles se couperont.

En géométrie, « presque égaux » ne permet jamais de conclure. ✔

Exo 3 — dans la rue

Une rue rectiligne traverse deux trottoirs parallèles. Elle forme un angle de 53° avec le premier trottoir. Quel angle, de même position, forme-t-elle avec le second ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)
Correction

Les deux trottoirs sont parallèles, et la rue est une sécante.

L'angle demandé est le correspondant du premier : comme les droites sont parallèles, il mesure lui aussi 53°.

C'est ce qui fait qu'une rue traverse tous les trottoirs parallèles « de la même façon ». ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là demandent de tracer ou d'enchaîner plusieurs propriétés.

Exo 1 · Facile Représenter

Trace deux droites parallèles et une sécante. Colorie d'une même couleur tous les angles égaux, puis d'une autre couleur les angles restants. Combien de couleurs t'a-t-il fallu ?

Exo 2 · Moyen Raisonner

Vrai ou faux, en justifiant : a) les angles opposés par le sommet sont toujours égaux · b) des alternes-internes égaux entraînent le parallélisme · c) les angles correspondants sont toujours égaux.

Exo 3 · Défi Chercher Raisonner

Trois droites (d), (d₁) et (d₂) sont parallèles entre elles. Une sécante (s) forme un angle de 110° avec (d₁). Quel angle forme-t-elle avec (d₂) ? Et avec (d) ? Justifie en une phrase.

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • Opposés par sommet toujours égaux.
  • (d)//(d') : correspondants ET alternes-internes égaux.
  • Réciproque : si égaux → droites //.
  • Sert à : calculer angle ou démontrer //.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la deuxième pensée en bleu décrit précisément où se placent les deux paires. Tant qu'on ne sait pas les repérer sur la figure, la propriété ne sert à rien.

Ce chapitre sert directement au suivant : c'est avec les alternes-internes qu'on démontre que la somme des angles d'un triangle vaut 180°.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais l'exo guidé 2 : nommer la paire avant de calculer.

J+7

Refais l'exo guidé 3 (démontrer un parallélisme) et l'exo autonome 3.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 2 : 80° et 85°.

Pour aller plus loin

Q1. Démontre somme angles triangle = 180° avec alternes-internes.

Q2. Alternes-externes (au-dehors) : que dire si //?

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