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Calcul littéral et algébrique

Cinquième · Nombres et calculs · BO 2026 (cycle 4)

Lettres pour généraliser, distributivité, équations simples.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Développer une expression avec une parenthèse, sans oublier de terme.
  • Réduire une expression en ne regroupant que ce qui est de même nature.
  • Résoudre une équation simple par opérations inverses, puis vérifier.

Tu auras réussi si…

  • Quand tu développes, le nombre de devant multiplie TOUS les termes de la parenthèse.
  • Tu ne regroupes jamais un x avec un nombre : 3x + 4 reste 3x + 4.
  • Tu testes ton résultat avec une valeur : départ et arrivée donnent le même nombre.
  • Après avoir résolu une équation, tu remplaces pour vérifier.

À quoi ça sert : Une lettre permet de dire une règle une fois pour toutes, au lieu de la répéter pour chaque nombre. Le périmètre d'un carré, le prix de plusieurs articles identiques, un programme de calcul : tout cela s'écrit en une ligne, et devient vrai pour n'importe quelle valeur.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu développer 3(x + 5) et résoudre 4x = 36 ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Les 4 opérations.
  • Priorités opératoires.
  • Problèmes à inconnue (6e, schémas).
  • Formules aire/périmètre carré, rectangle.
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Pourquoi des lettres

Pour généraliser. Périmètre carré côté c : P = 4c. Si c=7, P = 28.

2.2 — Conventions d'écriture
  • 3 × x s'écrit 3x.
  • 5 × (a+b) s'écrit 5(a+b).
  • 1 × x = x. x × x = x².
  • 4 × x = x × 4 = 4x.
2.3 — Tester une égalité

On remplace la lettre par sa valeur, on calcule chaque membre.

Ex : 3x+5 = 14 pour x=3 ? → 3×3+5 = 14 ✓ vrai.

2.4 — Développer et factoriser

k(a + b) = ka + kb  ·  k(a − b) = ka − kb

De gauche à droite on développe : 3(x + 5) = 3x + 15 ; 5(a − 2) = 5a − 10.

De droite à gauche on factorise : 7x + 7×4 = 7(x + 4) ; 6a − 6b = 6(a − b).

Pour factoriser, on cherche ce qui est commun aux deux termes. Dans 12x + 18, c'est 6 : 12x + 18 = 6(2x + 3).

2.5 — Réduire une expression

Réduire, c'est écrire l'expression avec le moins de termes possible, sous la forme ax + b.

On ne regroupe que ce qui est de même nature : les x avec les x, les nombres avec les nombres.

5x + 3 + 2x − 8 = (5x + 2x) + (3 − 8) = 7x − 5.

Piège

3x + 4 ne se réduit pas en 7x. On ne peut pas additionner des x et des nombres, comme on n'additionne pas des pommes et des litres.

2.6 — Démontrer avec des lettres

Le calcul littéral sert à prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres, pas seulement pour ceux qu'on a testés.

Exemple. « Prends un nombre, ajoute 3, multiplie par 2, retire 6 : tu obtiens le double du nombre de départ. »

Avec la lettre n : 2(n + 3) − 6 = 2n + 6 − 6 = 2n. C'est démontré pour tous les nombres. ∎

À l'inverse, pour prouver qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit. « Le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre » : avec 0,5, on obtient 0,25 qui est plus petit. C'est faux. ∎

2.7 — Équations simples

En 5ᵉ, on résout par opérations inverses, pas par une technique formelle.

x + b = c → x = c − b (l'inverse d'ajouter, c'est retirer). ax = c → x = c ÷ a (l'inverse de multiplier, c'est diviser).

Ex : x + 7 = 20 → x = 13. 4x = 36 → x = 9.

Toujours vérifier en remplaçant dans l'équation de départ.

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Réécrire cette expression le plus simplement possible, sans changer sa valeur. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Une expression sans parenthèse, avec un terme en x et un nombre. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Je remplacerai x par un nombre au choix dans les deux expressions : elles devront donner le même résultat. »
Je développe puis je réduis A = 3(x + 5) + 2x.
  1. 1
    Je repère ce qui bloque : la parenthèse. « Tant qu'il y a une parenthèse, je ne peux rien regrouper : le 3 « tient » encore le x et le 5 ensemble. Je commence donc toujours par développer. »
  2. 2
    Je distribue le 3 à tous les termes. A = 3x + 15 + 2x. « 3 × x = 3x, et 3 × 5 = 15. Le 3 multiplie les DEUX termes, pas seulement le premier. Écrire 3x + 5 serait l'erreur classique : le 5 aurait échappé à la multiplication. »
  3. 3
    Je repère les termes de même nature. « 3x et 2x sont tous les deux des x : je peux les compter ensemble. Le 15, lui, est un nombre tout seul — il n'a personne de sa nature avec qui se regrouper, et je le laisse tranquille. »
  4. 4
    Je regroupe. A = 5x + 15. « 3x + 2x = 5x, comme 3 pommes plus 2 pommes font 5 pommes. Et le 15 reste tel quel. »
  5. 5
    Je teste avec une valeur. « Je teste avec x = 2. Au départ : 3 × (2 + 5) + 2 × 2 = 3 × 7 + 4 = 25. À l'arrivée : 5 × 2 + 15 = 10 + 15 = 25. Les deux donnent 25 : mon calcul est juste. Ce test prend dix secondes et attrape presque toutes les erreurs. »
L'erreur à éviter : écrire x + x = x². « Non : x + x, c'est deux fois x, donc 2x. Alors que x², c'est x multiplié par x. Teste avec x = 3 : 3 + 3 = 6, mais 3² = 9. Additionner et multiplier ne donnent pas la même chose — même avec des lettres. »
Conclusion : A = 5x + 15.

La méthode que je viens de dérouler

  1. S'il y a une parenthèse, je développe d'abord : le nombre de devant multiplie TOUS les termes.
  2. Je repère les termes de même nature : les x avec les x, les nombres avec les nombres.
  3. Je regroupe, et je laisse tranquilles ceux qui sont seuls de leur espèce.
  4. Je ne mélange jamais un x et un nombre : 3x + 4 ne se réduit pas.
  5. Je teste avec une valeur : départ et arrivée doivent donner le même nombre.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Donner une valeur

A = 2x + 5 pour x = 4. Je remplace la lettre par sa valeur : A = 2 × 4 + 5 = 8 + 5 = 13. Attention aux priorités : on multiplie avant d'additionner.

Ex 2 — Tester une égalité

Le nombre 4 est-il solution de 5x − 3 = 17 ? Je calcule le membre de gauche : 5 × 4 − 3 = 20 − 3 = 17. C'est bien égal au membre de droite, donc oui.

Ex 3 — Développer

4(x + 7) = 4 × x + 4 × 7 = 4x + 28. Et 6(2x − 3) = 12x − 18 : le signe moins reste attaché au 3, et le 6 multiplie aussi ce terme-là.

Ex 4 — Une équation dans un problème

Théo dépense 12 € en cahiers à 3 € l'unité. Si x est le nombre de cahiers : 3x = 12. L'inverse de multiplier par 3, c'est diviser par 3, donc x = 12 ÷ 3 = 4 cahiers. Vérification : 3 × 4 = 12. ✔

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. En développant, prononce les deux produits : « cinq fois x, et cinq fois trois ». Le terme oublié est presque toujours celui qu'on n'a pas prononcé.
Exo guidé 1 — développer

Développe 5(x + 3).

Étape 1 — Le 5 multiplie le premier terme : calcule 5 × x
Un nombre multiplié par une lettre s'écrit sans signe : 5x.
Étape 2 — Le 5 multiplie AUSSI le second terme : calcule 5 × 3
Le 5 ne s'arrête pas au x : il multiplie tout ce qui est dans la parenthèse.
Étape 3 — Écris le résultat développé, sous la forme 5x+15
5(x + 3) =
Le terme en x, puis le nombre.
Rédaction attendue

5(x + 3) = 5 × x + 5 × 3 = 5x + 15. Test avec x = 2 : au départ 5 × 5 = 25, à l'arrivée 10 + 15 = 25. ✔

Exo guidé 2 — réduire

Réduis l'expression 7x + 4 + 3x − 9.

Étape 1 — Regroupe les termes en x : 7x + 3x
Sept x plus trois x, comme sept pommes plus trois pommes.
Étape 2 — Regroupe les nombres : 4 − 9
On enlève 9 à 4 : on passe en dessous de zéro.
Étape 3 — Écris l'expression réduite, sous la forme 10x-5
résultat =
Le terme en x, puis le nombre avec son signe.
Rédaction attendue

Je regroupe les x entre eux et les nombres entre eux : (7x + 3x) + (4 − 9) = 10x − 5.

Attention : on ne peut pas aller plus loin. 10x et −5 ne sont pas de même nature. ✔

Exo guidé 3 — tester une égalité

Le nombre 5 est-il solution de l'équation 3x − 4 = 11 ?

Étape 1 — Pour x = 5, calcule le membre de gauche : 3 × 5 − 4
D'abord la multiplication, ensuite la soustraction.
Étape 2 — Le membre de droite vaut 11. Le nombre 5 est-il solution ? (oui ou non)
Les deux membres donnent-ils le même nombre ?
Rédaction attendue

Pour x = 5, le membre de gauche vaut 3 × 5 − 4 = 11, et le membre de droite vaut 11.

Les deux membres sont égaux, donc 5 est bien solution. ✔

Exo guidé 4 — résoudre par opérations inverses

Résous l'équation 4x = 36.

Étape 1 — Dans 4x = 36, quelle opération défait la multiplication par 4 ? (écris le mot)
il faut
L'opération inverse de la multiplication.
Étape 2 — Calcule 36 ÷ 4
x =
Combien de fois 4 tient-il dans 36 ?
Étape 3 — Vérifie en remplaçant : calcule 4 × 9
On doit retomber sur le membre de droite du départ.
Rédaction attendue

4x = 36. L'inverse de multiplier par 4, c'est diviser par 4 : x = 36 ÷ 4 = 9.

Vérification : 4 × 9 = 36. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu poses ton calcul sur ton cahier et tu saisis le résultat sans espaces. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1

Développe et réduis 4(x + 2) + 3x. Écris ta réponse sous la forme 7x+8.

Ta réponse
Correction

4(x + 2) = 4x + 8, donc l'expression devient 4x + 8 + 3x.

Je regroupe les x : 4x + 3x = 7x. Le 8 reste seul de son espèce.

Donc l'expression réduite est 7x + 8. Test avec x = 1 : au départ 4 × 3 + 3 = 15, à l'arrivée 7 + 8 = 15. ✔

Exo 2 — trouve l'erreur

Mia écrit : « x + x = x² ». Que vaut réellement x + x ? Écris ta réponse sous la forme 2x.

Ta réponse
Correction

x + x, c'est deux fois x, donc 2x.

x², en revanche, c'est x multiplié par x — une tout autre opération.

La preuve avec un nombre : pour x = 3, on a 3 + 3 = 6 tandis que 3² = 9. Mia a confondu addition et multiplication. ✔

Exo 3 — une équation dans un problème

Un libraire vend des livres à 8 € l'unité. Théo paye 56 €. Combien de livres a-t-il achetés ?

Ta réponse (un nombre de livres)
Correction

J'appelle x le nombre de livres. Chaque livre coûte 8 €, donc 8x = 56.

L'inverse de multiplier par 8, c'est diviser par 8 : x = 56 ÷ 8 = 7.

Théo a acheté 7 livres. Vérification : 7 × 8 = 56 €. ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là demandent d'écrire une formule ou de démontrer.

Exo 1 · Facile Représenter

Écris le périmètre et l'aire en fonction de la lettre : a) un carré de côté c · b) un rectangle de longueur L et de largeur l.

Exo 2 · Défi Modéliser Chercher

Programme de calcul : choisis un nombre, ajoute 5, multiplie par 3. On obtient 36. Quel était le nombre de départ ? Écris d'abord le programme en une seule expression.

Exo 3 · Défi Raisonner

Démontre avec une lettre : « prends un nombre, ajoute 3, multiplie par 2, retire 6 — tu obtiens le double du nombre de départ ». Pourquoi un seul exemple ne suffirait-il pas à le prouver ?

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • Lettres pour généraliser. × omis : 3x, 5(a+b).
  • Tester : remplacer + calculer chaque membre.
  • Distributivité : k(a+b) = ka + kb.
  • Équations simples : opération inverse pour isoler.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la deuxième pensée en bleu montre le terme qu'on oublie le plus souvent — celui qui « échappe » à la multiplication.

La suite logique : en 4e, la double distributivité, où deux parenthèses se multiplient l'une l'autre — et où il faudra compter quatre produits au lieu de deux.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais l'exo guidé 1 : le terme qui échappe à la multiplication.

J+7

Refais l'exo guidé 2 (réduire) et l'exo autonome 1.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 3 (le libraire).

Pour aller plus loin

Q1. (x+2)×3 = 3x+6 vrai pour tous les x ? Teste 0,1,5,10.

Q2. Trouve x tel que x+x+x = 3x. Combien de solutions ?

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