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Découvrir les fonctions

Cinquième · Proportionnalité, fonctions · BO 2026 (cycle 4)

Dire « en fonction de », construire et lire un tableau de valeurs, passer au graphique.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Écrire la formule qui relie deux grandeurs, puis remplir un tableau de valeurs.
  • Lire un graphique dans les deux sens : de l'abscisse vers l'ordonnée, et l'inverse.
  • Décider si une situation est proportionnelle — et savoir pourquoi « aligné » ne suffit pas.

Tu auras réussi si…

  • Tu écris la formule avant de remplir le tableau, pas après.
  • Tu regardes ce que mesure chaque axe et son unité avant de lire un graphique.
  • Tu vérifies que la droite passe par l'origine, pas seulement qu'elle est droite.
  • Tu peux dire, avec un exemple, pourquoi des points alignés ne suffisent pas.

À quoi ça sert : Un tarif de parking, une bougie qui se consume, un forfait téléphonique : dès que deux grandeurs varient ensemble, un tableau et un graphique permettent de prévoir sans tout recalculer. Et de comparer deux offres d'un coup d'œil.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu dire ce que veut dire « le prix dépend de la durée » et le montrer sur un graphique ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Repérage dans un repère orthogonal (chapitre « Repérage »).
  • Proportionnalité : coefficient, tableau (chapitre « Proportionnalité »).
  • Calculer la valeur d'une expression littérale par substitution.
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Deux grandeurs qui dépendent l'une de l'autre

Dans un parking, le prix à payer dépend de la durée du stationnement. On dit que le prix est fonction de la durée.

Cette expression a un sens précis : à chaque durée correspond un prix, et un seul.

Autres exemples : l'aire d'un carré est fonction de la longueur de son côté ; la distance parcourue est fonction du temps.

2.2 — Le tableau de valeurs

Pour ranger cette dépendance, on fabrique un tableau de valeurs : une ligne pour la grandeur dont on part, une ligne pour celle qu'on obtient.

Durée (h)1234
Prix (€)2468

Si on connait la formule, on remplit le tableau en remplaçant : prix = 2 × durée.

2.3 — Du tableau au graphique

Chaque colonne du tableau donne un couple, donc un point du repère : (1 ; 2), (2 ; 4), (3 ; 6), (4 ; 8).

0durée (h)prix (€)

On place les points, on ne les relie que si la grandeur de départ peut prendre toutes les valeurs intermédiaires (une durée, oui ; un nombre de places de cinéma, non).

2.4 — Lire un graphique

Un graphique répond à deux questions opposées.

  • « Combien coûtent 3 heures ? » : on part de 3 sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, on lit à gauche.
  • « Avec 5 €, combien de temps ? » : on part de 5 sur l'axe vertical, on va jusqu'à la courbe, on lit en bas.

Il faut toujours regarder ce que mesure chaque axe et quelle est son unité avant de répondre.

2.5 — Reconnaître la proportionnalité sur le graphique

Une situation est de proportionnalité si, et seulement si, les points sont alignés avec l'origine du repère.

Alignés mais pas avec l'origine : ce n'est pas de la proportionnalité. C'est le cas d'un abonnement de 5 € plus 2 € par heure : le graphique part de 5, pas de 0.

Piège

« Les points montent régulièrement » ne suffit pas. Il faut que la droite passe par le point (0 ; 0).

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Comment le prix dépend du nombre de kilomètres, et si cette dépendance est proportionnelle. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Une formule, un tableau, des points placés, et une réponse justifiée. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Deux tests devront dire la même chose : les quotients, et le passage par l'origine. »
Un taxi facture 4 € de prise en charge, puis 2 € par kilomètre. Je fais le tableau, je place les points, et je décide s'il s'agit d'une situation de proportionnalité.
  1. 1
    J'écris la formule. prix = 2 × nombre de km + 4. « Le prix DÉPEND du nombre de kilomètres : c'est lui la grandeur de départ. On paye 4 € une seule fois, au début, puis 2 € pour chaque kilomètre. J'écris la formule avant tout calcul, elle me servira pour toutes les valeurs. »
  2. 2
    Je remplis le tableau. 0 → 4 ; 1 → 6 ; 2 → 8 ; 5 → 14. « Je remplace, ligne par ligne : 0 km donne 4 €, 1 km donne 6 €, 2 km donnent 8 €, 5 km donnent 14 €. La colonne « 0 km » est la plus importante des quatre, on va voir pourquoi. »
  3. 3
    Je place les points : ils sont alignés. « Je place les quatre points, et je constate qu'ils sont parfaitement alignés. C'est exactement ce qui fait croire à la proportionnalité — et c'est là qu'il faut résister à la conclusion trop rapide. »
  4. 4
    J'applique le vrai critère : le passage par l'origine. Ce n'est pas proportionnel. « La droite passe-t-elle par l'origine ? Non : pour 0 kilomètre, on paye déjà 4 €. Elle part de 4, pas de 0. Et les quotients le confirment : 6 ÷ 1 = 6, mais 8 ÷ 2 = 4 et 14 ÷ 5 = 2,8. Ils ne sont pas constants. »
  5. 5
    Je vérifie que mes deux tests concordent. « Mes deux tests disent la même chose : quotients non constants d'un côté, droite ne passant pas par l'origine de l'autre. Ce sont deux façons de dire la même chose — et quand elles se contredisent, c'est que j'ai fait une erreur de calcul quelque part. »
L'erreur à éviter : Ali affirme « les points sont sur une droite, donc c'est proportionnel ». « Non : ce taxi en est le contre-exemple. Ses points sont parfaitement alignés, et pourtant doubler la distance ne double pas le prix — 1 km coûte 6 €, mais 2 km n'en coûtent que 8, pas 12. La prise en charge fausse tout. »
Conclusion : Ce n'est PAS de la proportionnalité, bien que les points soient alignés.

La méthode que je viens de dérouler

  1. « Le prix est fonction de la durée » veut dire : à chaque valeur de départ correspond une valeur d'arrivée, et une seule.
  2. J'écris la formule, puis je remplis le tableau en remplaçant.
  3. Chaque colonne du tableau donne un point du repère.
  4. Proportionnalité : les points sont alignés ET la droite passe par l'origine.
  5. Deux tests équivalents : tous les quotients égaux, ou la droite qui passe par (0 ; 0).

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Remplir un tableau

L'aire d'un carré de côté c vaut c × c. Pour c = 1, 2, 3, 4 on obtient 1, 4, 9 et 16. On remplit toujours en remplaçant dans la formule, jamais en devinant la suite.

Ex 2 — Lire dans les deux sens

Sur le graphique d'un parking à 2 € l'heure : « combien coûtent 3 heures ? » se lit en partant de 3 en bas et en montant, ce qui donne 6 €. « Avec 8 €, combien de temps ? » se lit en partant de 8 à gauche, ce qui donne 4 heures.

Ex 3 — Un cas proportionnel

Durée/prix du parking : 2 ÷ 1 = 4 ÷ 2 = 6 ÷ 3 = 2. Coefficient constant, et zéro heure coûte zéro euro : les points sont alignés AVEC l'origine, c'est bien de la proportionnalité.

Ex 4 — Un cas qui ne l'est pas du tout

Aire du carré : 1, 4, 9, 16. Les quotients valent 1, 2, 3, 4 — ils changent à chaque fois. Ce n'est pas proportionnel, et ici cela se voit même à l'œil : le graphique n'est pas une droite, il se redresse de plus en plus.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Pose-toi toujours la question de la valeur zéro : « et si on n'achète rien, si on ne roule pas, si on n'attend pas — combien ça coûte ? ». C'est elle qui décide de la proportionnalité.
Exo guidé 1 — un tableau proportionnel

Un carnet coûte 3 €. Complète le tableau du prix en fonction du nombre de carnets, puis conclus.

Étape 1 — Un carnet coûte 3 €. Quel est le prix de 4 carnets ?
prix =
3 × 4.
Étape 2 — Et le prix de 5 carnets ?
prix =
3 × 5.
Étape 3 — Zéro carnet coûte zéro euro, et les quotients valent tous 3. Est-ce proportionnel ? (oui ou non)
Les deux conditions sont remplies : quotients égaux, et passage par l'origine.
Rédaction attendue

4 carnets coûtent 12 €, 5 carnets coûtent 15 €. Tous les quotients valent 3, et zéro carnet coûte zéro euro.

C'est donc bien une situation de proportionnalité, de coefficient 3 (le prix d'un carnet). ✔

Exo guidé 2 — utiliser une formule

Le périmètre d'un carré est donné par P = 4 × c. Calcule P pour c = 3,5 puis c = 10.

Étape 1 — Le périmètre d'un carré vaut P = 4 × c. Pour c = 3,5, calcule P
P =
4 × 3,5.
Étape 2 — Pour c = 10, calcule P
P =
4 × 10.
Rédaction attendue

Pour c = 3,5 : P = 4 × 3,5 = 14. Pour c = 10 : P = 4 × 10 = 40.

On remplace la lettre par sa valeur : c'est tout le travail. ✔

Exo guidé 3 — le piège du taxi

Un taxi facture 4 € de prise en charge, puis 2 € par kilomètre. Est-ce une situation de proportionnalité ?

Étape 1 — Le taxi facture 4 € puis 2 € par km. Quel est le prix pour 0 kilomètre ?
prix =
On paye la prise en charge même sans rouler.
Étape 2 — Quel est le prix pour 5 kilomètres ?
prix =
2 × 5 + 4.
Étape 3 — La droite passe-t-elle par l'origine (0 ; 0) ? (oui ou non)
Regarde ce que coûte zéro kilomètre : 4 €, et non 0 €.
Étape 4 — S'agit-il d'une situation de proportionnalité ? (oui ou non)
Les points sont alignés, mais la droite ne part pas de l'origine : cela ne suffit pas.
Rédaction attendue

Pour 0 km on paye déjà 4 €, donc la droite ne passe pas par l'origine.

Ce n'est pas de la proportionnalité, même si les points sont parfaitement alignés. Vérification par les quotients : 6 ÷ 1 = 6, mais 14 ÷ 5 = 2,8. ✔

Exo guidé 4 — une bougie qui brûle

Une bougie de 20 cm perd 4 cm par heure de combustion.

Étape 1 — Une bougie de 20 cm brûle de 4 cm par heure. Quelle est sa hauteur après 3 heures ?
hauteur =
20 − 4 × 3.
Étape 2 — Au bout de combien d'heures la bougie est-elle entièrement consumée ?
heures :
Combien de fois 4 tient-il dans 20 ?
Rédaction attendue

La formule est hauteur = 20 − 4 × nombre d'heures. Après 3 heures : 20 − 12 = 8 cm.

La bougie est entièrement consumée quand la hauteur atteint 0, soit après 5 heures. Ici la grandeur DIMINUE : ce n'est pas de la proportionnalité non plus. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu construis ton tableau sur ton cahier et tu ne saisis que le résultat. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1 — lire un graphique

Un parking coûte 2 € par heure, sans frais d'entrée. Combien coûtent 3 heures de stationnement, en euros ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)
Correction

La formule est prix = 2 × durée, donc pour 3 heures : 2 × 3 = 6 €.

Ici zéro heure coûte zéro euro : c'est bien de la proportionnalité, et le graphique est une droite passant par l'origine. ✔

Exo 2 — trouve l'erreur

L'aire d'un carré vaut c × c. Pour c = 1, 2, 3 et 4, on obtient 1, 4, 9 et 16. Cette situation est-elle proportionnelle ? Réponds par oui ou non.

Ta réponse
Correction

Non. Les quotients valent 1, 2, 3 et 4 : ils ne sont pas constants.

Le graphique le montre aussi : les points ne sont pas alignés, la courbe se redresse de plus en plus.

Autrement dit, doubler le côté d'un carré ne double pas son aire : elle est multipliée par quatre. ✔

Exo 3 — la bougie

Une bougie de 20 cm brûle de 4 cm par heure. Quelle est sa hauteur après 2 h 30, en cm ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)
Correction

2 h 30 vaut 2,5 heures, donc la bougie a perdu 4 × 2,5 = 10 cm.

Sa hauteur est donc 20 − 10 = 10 cm, soit la moitié de sa taille initiale.

Contrôle : la bougie disparaît au bout de 5 heures, et 2 h 30 en est bien la moitié. ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là demandent de tracer ou de raconter.

Exo 1 · Moyen Représenter Raisonner

Reprends le taxi (4 € puis 2 € par km). Fais le tableau pour 0, 1, 2 et 5 km, place les points dans un repère, trace la droite. Où coupe-t-elle l'axe vertical, et pourquoi ?

Exo 2 · Défi Chercher Représenter

Deux forfaits : A coûte 0,50 € la minute ; B coûte 5 € puis 0,25 € la minute. Trace les deux graphiques de 0 à 40 minutes. À partir de combien de minutes le forfait B devient-il plus intéressant ?

Exo 3 · Défi Raisonner

Un graphique montre la hauteur de l'eau dans une baignoire au fil du temps : elle monte, reste constante un moment, puis descend rapidement. Raconte ce qui s'est passé.

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • « y est fonction de x » signifie : à chaque valeur de x correspond une seule valeur de y.
  • Un tableau de valeurs se remplit à partir d'une formule, par substitution.
  • Chaque colonne du tableau donne un point du repère.
  • On lit un graphique dans les deux sens : de l'axe horizontal vers la courbe, ou l'inverse.
  • Proportionnalité ⇔ points alignés avec l'origine.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la quatrième pensée en bleu montre le taxi, dont les points sont parfaitement alignés sans être proportionnels. C'est le contre-exemple à garder en tête toute l'année.

La suite logique : en 3e, les fonctions linéaires et affines — où l'on donnera un nom à la différence entre la droite qui part de zéro et celle qui part d'ailleurs.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais l'exo guidé 1 : le tableau des carnets.

J+7

Refais l'exo guidé 3 (le taxi) et l'exo autonome 2.

J+30

Relis le modelage, puis trouve un graphique dans un journal et dis ce que mesure chaque axe.

Pour aller plus loin

Q1. Peut-on avoir deux prix différents pour la même durée ? Pourquoi cela empêcherait-il de parler de fonction ?

Q2. Une droite qui ne passe pas par l'origine : que représente le nombre où elle coupe l'axe vertical ?

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