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Opérations, priorités et distributivité

Cinquième · Nombres et calculs · BO 2026 (cycle 4)

Nommer un calcul, enchainer les opérations, respecter les priorités, diviser par un décimal.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Calculer une expression en respectant l'ordre des priorités.
  • Écrire un programme de calcul en une seule expression, avec les parenthèses qu'il faut.
  • Diviser par un nombre décimal en transformant la division.

Tu auras réussi si…

  • Tu fais les parenthèses d'abord, puis les multiplications et divisions, puis le reste.
  • À égalité de priorité, tu calcules de gauche à droite — toujours.
  • Tu places des parenthèses quand l'ordre des ordres l'exige, et tu sais dire pourquoi.
  • Tu contrôles avec la calculatrice, qui applique exactement les mêmes règles que toi.

À quoi ça sert : Un même calcul écrit sans parenthèses peut donner deux résultats très différents. Savoir dans quel ordre les opérations se font, c'est pouvoir lire une facture, une formule de tableur ou une ligne de programme sans se tromper.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu calculer 3 + 4 × 5 sans hésiter, et dire pourquoi ce n'est pas 35 ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Les quatre opérations sur les décimaux (6ᵉ).
  • Division euclidienne : quotient et reste (6ᵉ).
  • Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000.
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Nommer le calcul

Un calcul porte un nom, et ce nom dit ce qu'on additionne ou ce qu'on multiplie.

  • Une somme est faite de termes : dans 7 + 5, les termes sont 7 et 5.
  • Un produit est fait de facteurs : dans 7 × 5, les facteurs sont 7 et 5.
  • Une différence : 12 – 4. Un quotient : 12 ÷ 4.

Savoir nommer sert à répondre à une consigne du type « le produit de la somme de 3 et 4 par 5 ».

2.2 — Les priorités opératoires

parenthèses → multiplications et divisions → additions et soustractions

3 + 4 × 5 = 3 + 20 = 23 (et non 35).

(3 + 4) × 5 = 7 × 5 = 35. Les parenthèses passent devant tout.

À égalité (que des × et ÷, ou que des + et –), on calcule de gauche à droite : 20 – 8 – 3 = 12 – 3 = 9.

Piège

La calculatrice respecte les priorités : si tu tapes 3 + 4 × 5 elle affiche 23. Si tu voulais 35, c'est à toi de mettre les parenthèses.

2.3 — Traduire un programme de calcul en une seule expression

Un programme de calcul est une suite d'ordres. On peut l'écrire en une seule ligne.

Choisis un nombre · ajoute 3 · multiplie le résultat par 4.

(nombre + 3) × 4

Les parenthèses sont indispensables ici : sans elles on écrirait nombre + 3 × 4, qui n'est pas le même programme.

2.4 — La distributivité simple

k × (a + b) = k × a + k × b

Elle sert à calculer de tête : 7 × 102 = 7 × (100 + 2) = 700 + 14 = 714.

Elle marche aussi avec une soustraction : 7 × 98 = 7 × (100 – 2) = 700 – 14 = 686.

Et dans l'autre sens, pour regrouper : 13 × 7 + 13 × 3 = 13 × (7 + 3) = 13 × 10 = 130.

2.5 — Diviser par un nombre décimal

On ne sait pas diviser par 0,25. On transforme donc la division pour que le diviseur devienne entier, en multipliant les deux nombres par 10, 100 ou 1 000.

7 ÷ 0,25 = 700 ÷ 25 = 28

Contrôle : 0,25 c'est un quart, donc diviser par 0,25 revient à multiplier par 4. 7 × 4 = 28. ✓

Piège

Diviser ne rend pas toujours plus petit : 7 ÷ 0,25 = 28, qui est plus grand que 7. Quand on divise par un nombre entre 0 et 1, le résultat augmente.

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Trouver la valeur de ce calcul — en faisant les opérations dans le bon ordre, pas dans l'ordre où elles sont écrites. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Une suite de lignes, une opération par ligne, et un nombre à la fin. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Je taperai le calcul tel quel à la calculatrice : elle applique les mêmes règles que moi, elle doit donc trouver la même chose. »
Je calcule A = 25 − 3 × 6 + 4.
  1. 1
    Je repère les opérations présentes. « Il y a une soustraction, une multiplication et une addition. Elles ne se font PAS dans l'ordre où elles sont écrites : la multiplication passe devant. Je repère donc d'abord qui est prioritaire, avant de calculer quoi que ce soit. »
  2. 2
    Je fais la multiplication d'abord. A = 25 − 18 + 4. « 3 × 6 = 18. Je recopie tout le reste sans y toucher : le 25 devant, le + 4 derrière. Une seule opération par ligne, sinon je finis par en oublier une. »
  3. 3
    Je termine de gauche à droite. 25 − 18 = 7, puis 7 + 4 = 11. « Il ne reste que des + et des − : ils sont à égalité, donc on va de gauche à droite. 25 − 18 = 7, puis 7 + 4 = 11. Si j'avais commencé par 18 + 4 = 22, j'aurais obtenu 3 — et ce serait faux. À égalité, l'ordre d'écriture décide. »
  4. 4
    J'écris le résultat. A = 11. « J'écris le résultat proprement, sans oublier de le rattacher au nom de l'expression. »
  5. 5
    Je vérifie à la calculatrice. « Je tape 25 − 3 × 6 + 4 à la calculatrice, telle quelle : elle affiche 11. C'est un vrai contrôle, parce que la calculatrice applique exactement les mêmes priorités. Si elle et moi ne trouvons pas la même chose, c'est moi qui me suis trompé d'ordre. »
L'erreur à éviter : Sofiane écrit 5 + 2 × 3 = 21. « Il a calculé de gauche à droite : 5 + 2 = 7, puis 7 × 3 = 21. Mais ce calcul-là, c'est (5 + 2) × 3, avec des parenthèses. Sans parenthèses, la multiplication passe d'abord : 5 + 6 = 11. »
Conclusion : A = 11.

La méthode que je viens de dérouler

  1. Les parenthèses d'abord, en commençant par les plus intérieures.
  2. Puis les multiplications et les divisions.
  3. Puis les additions et les soustractions.
  4. À égalité de priorité, de gauche à droite — toujours.
  5. Contrôle : la calculatrice applique les mêmes règles. Un désaccord signale une erreur de priorité.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Les parenthèses changent tout

3 + 4 × 5 = 3 + 20 = 23, car la multiplication passe devant. Mais (3 + 4) × 5 = 7 × 5 = 35 : les parenthèses forcent l'addition à passer en premier. Même chiffres, résultats différents.

Ex 2 — Parenthèses imbriquées

2 × (5 + 3 × (4 − 2)). Je commence par la parenthèse la plus intérieure : 4 − 2 = 2. Puis 3 × 2 = 6, puis 5 + 6 = 11, et enfin 2 × 11 = 22. On travaille de l'intérieur vers l'extérieur.

Ex 3 — Un programme de calcul

Prends un nombre, retire 2, multiplie par 5. En une seule expression : (nombre − 2) × 5. Les parenthèses sont indispensables — sans elles, on écrirait nombre − 2 × 5, qui retire 10 au lieu de multiplier la différence. Avec 9 : (9 − 2) × 5 = 35.

Ex 4 — Diviser par un décimal

4,8 ÷ 0,6 : on ne sait pas diviser par 0,6, alors on multiplie les DEUX nombres par 10 : 48 ÷ 6 = 8. Vérification : 8 × 0,6 = 4,8. ✔ Remarque : le résultat 8 est plus grand que 4,8 — diviser ne rend pas toujours plus petit.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Avant de calculer, annonce l'ordre : « je fais d'abord la multiplication, ensuite la soustraction ». Les erreurs de priorité disparaissent quand on nomme l'ordre au lieu de le supposer.
Exo guidé 1 — sans parenthèses

Calcule 8 + 3 × 4.

Étape 1 — Dans 8 + 3 × 4, quelle opération se fait en premier ? (écris addition ou multiplication)
d'abord la
La multiplication est prioritaire sur l'addition, même si elle est écrite après.
Étape 2 — Calcule 3 × 4
La partie prioritaire du calcul.
Étape 3 — Termine : 8 + 12
résultat =
On additionne le nombre du début au produit trouvé.
Rédaction attendue

8 + 3 × 4 = 8 + 12 = 20. La multiplication passe avant l'addition. ✔

Exo guidé 2 — les mêmes nombres, avec parenthèses

Calcule (8 + 3) × 4.

Étape 1 — Dans (8 + 3) × 4, quelle opération se fait en premier ? (écris addition ou multiplication)
d'abord la
Les parenthèses passent devant tout, même devant la multiplication.
Étape 2 — Calcule 8 + 3
Le contenu de la parenthèse.
Étape 3 — Termine : 11 × 4
résultat =
Compare avec l'exercice précédent : mêmes nombres, résultat très différent.
Rédaction attendue

(8 + 3) × 4 = 11 × 4 = 44.

Mêmes nombres que dans l'exercice précédent, résultat plus du double : les parenthèses ne sont jamais décoratives. ✔

Exo guidé 3 — parenthèses imbriquées

Calcule 2 × (5 + 3 × (4 − 2)).

Étape 1 — Dans 2 × (5 + 3 × (4 − 2)), commence par la parenthèse la plus intérieure : 4 − 2
On travaille de l'intérieur vers l'extérieur.
Étape 2 — Dans la parenthèse restante, la multiplication d'abord : 3 × 2
Même à l'intérieur d'une parenthèse, les priorités s'appliquent.
Étape 3 — Termine la parenthèse : 5 + 6
Maintenant la parenthèse est réduite à un seul nombre.
Étape 4 — Calcule enfin 2 × 11
résultat =
La dernière multiplication.
Rédaction attendue

2 × (5 + 3 × (4 − 2)) = 2 × (5 + 3 × 2) = 2 × (5 + 6) = 2 × 11 = 22.

On avance de l'intérieur vers l'extérieur, une opération par ligne. ✔

Exo guidé 4 — diviser par un décimal

Calcule 4,8 ÷ 0,6.

Étape 1 — Pour calculer 4,8 ÷ 0,6, on multiplie les deux nombres par 10. Que devient 4,8 ?
4,8 devient
Multiplier par 10 décale la virgule d'un rang vers la droite.
Étape 2 — Que devient 0,6 ?
0,6 devient
Le diviseur devient entier : c'est tout l'intérêt de la transformation.
Étape 3 — Calcule 48 ÷ 6
résultat =
Une division qu'on sait poser.
Étape 4 — Vérifie : calcule 8 × 0,6
On doit retomber sur le nombre de départ.
Rédaction attendue

Je multiplie les deux nombres par 10 : 4,8 ÷ 0,6 = 48 ÷ 6 = 8.

Vérification : 8 × 0,6 = 4,8. ✔ Et remarque que 8 est plus grand que 4,8 : diviser par un nombre plus petit que 1 fait augmenter le résultat.

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu poses ton calcul sur ton cahier et tu ne saisis que le résultat. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1

Calcule 20 − 6 ÷ 2.

Ta réponse
Correction

La division est prioritaire : 6 ÷ 2 = 3.

Il reste 20 − 3 = 17.

La calculatrice, tapée telle quelle, affiche bien 17. ✔

Exo 2 — trouve l'erreur

Sofiane écrit : 5 + 2 × 3 = 21. Quel est le vrai résultat de 5 + 2 × 3 ?

Ta réponse
Correction

La multiplication est prioritaire : 2 × 3 = 6, donc 5 + 2 × 3 = 5 + 6 = 11.

Sofiane a calculé de gauche à droite, ce qui revient à écrire (5 + 2) × 3 = 21 — un autre calcul.

Les parenthèses servent justement à dire quand on veut vraiment cet ordre-là. ✔

Exo 3 — diviser par un décimal

Calcule 12 ÷ 0,25.

Ta réponse
Correction

Je multiplie les deux nombres par 100 pour rendre le diviseur entier : 12 ÷ 0,25 = 1200 ÷ 25 = 48.

Contrôle rapide : 0,25 est un quart, donc diviser par 0,25 revient à multiplier par 4 — et 12 × 4 = 48. ✔

Remarque : le résultat est bien plus grand que 12. Diviser ne rend pas toujours plus petit.

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là demandent d'écrire, de chercher, ou de calculer astucieusement.

Exo 1 · Facile Calculer

Calcule de tête en utilisant la distributivité : a) 6 × 101 · b) 9 × 99 · c) 15 × 4 + 15 × 6. Explique à chaque fois le découpage que tu as choisi.

Exo 2 · Moyen Modéliser

Choisis un nombre, ajoute 4, multiplie par 2, retire 8. Écris ce programme en une seule expression, puis teste avec 5, 10 et 0. Que remarques-tu ?

Exo 3 · Défi Chercher Calculer

Place des parenthèses dans 2 + 3 × 4 − 1 pour obtenir : a) 13 · b) 19 · c) 17.

Exo 4 · Défi Raisonner

Un plein de 42,5 L coûte 74,375 €. Quel est le prix du litre ? Pose la division, puis explique comment tu es passé d'un diviseur décimal à un diviseur entier.

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • Une somme a des termes, un produit a des facteurs.
  • Priorités : parenthèses, puis × et ÷, puis + et –. À égalité, de gauche à droite.
  • Un programme de calcul s'écrit en une seule expression ; les parenthèses y sont souvent indispensables.
  • Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b, dans les deux sens.
  • Diviser par un décimal : on multiplie les deux nombres par 10, 100 ou 1 000.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la troisième pensée en bleu montre ce qui arrive quand on ne respecte pas le « de gauche à droite » — on obtient 3 au lieu de 11, sans qu'aucun signe ne vienne le signaler.

Et garde le contrôle : la calculatrice applique exactement les mêmes priorités. Un désaccord entre elle et toi n'est jamais de son fait.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais les exos guidés 1 et 2 : les mêmes nombres, avec et sans parenthèses.

J+7

Refais l'exo guidé 3 (parenthèses imbriquées) et l'exo autonome 3.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 2 : l'erreur de Sofiane.

Pour aller plus loin

Q1. Pourquoi 7 ÷ 0,25 est-il plus grand que 7 ?

Q2. La distributivité marche-t-elle avec une division : 12 ÷ (3 + 1) est-il égal à 12 ÷ 3 + 12 ÷ 1 ?

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