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Puissances — carré et cube

Cinquième · Nombres et calculs · BO 2026 (cycle 4)

Carré et cube : notation, carrés de 0 à 12, cube de 10, calculs simples.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Calculer le carré et le cube d'un nombre, sans confondre avec une multiplication par 2 ou par 3.
  • Placer une puissance au bon moment dans un calcul à plusieurs opérations.
  • Reconnaître un carré ou un cube et l'écrire sous forme de puissance.

Tu auras réussi si…

  • Tu écris a² = a × a, jamais a × 2.
  • Tu calcules la puissance AVANT les multiplications et les additions.
  • Tu connais par cœur les carrés jusqu'à 12² et le cube 10³.
  • Tu vérifies l'ordre de grandeur : élever au carré fait grandir bien plus que doubler.

À quoi ça sert : L'aire d'un carré, le volume d'un cube, la mémoire d'un ordinateur, le nombre de possibilités d'un code : dès qu'une même quantité se répète en se multipliant, la puissance permet de l'écrire court et de comprendre à quelle vitesse ça grandit.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu calculer 5² et 2³ ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Multiplier 2 nombres.
  • Aire carré, volume cube.
  • Produit (résultat ×).
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Carré

a² = a × a

5² = 25, 9² = 81, 10² = 100. Aire d'un carré côté a = a².

2.2 — Cube

a³ = a × a × a

2³ = 8, 4³ = 64, 10³ = 1 000. Volume cube arête a = a³.

2.3 — Écrire un nombre sous forme de puissance

Reconnaître qu'un nombre est un carré ou un cube, et l'écrire ainsi : 49 = 7², 64 = 8² et aussi 4³, 1 000 = 10³.

À connaître par cœur : les carrés de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et le cube de 10 (1 000).

Dans un calcul, la puissance se calcule avant les multiplications : 3 + 2 × 5² = 3 + 2 × 25 = 53.

Au-delà du programme de 5ᵉ. Le BO 2026 limite la 5ᵉ au carré et au cube. Ce qui suit (exposant quelconque, puissances de 10) est au programme de 4ᵉ et de 3ᵉ : à lire si tu veux prendre de l'avance, pas à réviser pour un contrôle de 5ᵉ.
2.4 — Puissance n (4ᵉ)

an = a × a × … × a (n facteurs)

24 = 16. 106 = 1 000 000.

Pièges
  • 5² ≠ 5×2 (= 25 et non 10).
  • 4³ ≠ 4×3 (= 64 et non 12).
  • 2³ = 8, 3² = 9 (≠).
2.5 — Puissances de 10 (3ᵉ)

10n = 1 suivi de n zéros. 10² = 100. 10⁶ = 1 000 000. 10⁹ = 1 milliard.

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Calculer une expression où il y a une puissance, une multiplication et une addition — donc trois priorités différentes. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Une suite de lignes, une opération par ligne, et un nombre à la fin. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Le résultat devra être bien plus grand que si j'avais lu 5² comme 5 × 2. »
Je calcule A = 3 + 2 × 5².
  1. 1
    Je me redis ce que veut dire la puissance. 5² = 5 × 5. « 5², cela veut dire 5 × 5, et surtout PAS 5 × 2. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle vient de ce qu'on lit le petit 2 comme un facteur alors qu'il compte combien de fois on écrit le nombre. »
  2. 2
    Je place la puissance dans l'ordre des priorités. « La puissance se calcule AVANT les multiplications, et donc bien avant les additions. C'est un cran de plus dans la hiérarchie que je connaissais : parenthèses, puis puissances, puis × et ÷, puis + et −. »
  3. 3
    Je calcule la puissance. A = 3 + 2 × 25. « 5 × 5 = 25. Je recopie tout le reste sans y toucher : le 3 devant, le 2 × qui attend. »
  4. 4
    Je poursuis dans l'ordre. 2 × 25 = 50, puis 3 + 50 = 53. « Maintenant la multiplication : 2 × 25 = 50. Puis seulement l'addition : 3 + 50 = 53. Une opération par ligne, dans l'ordre des priorités. »
  5. 5
    Je contrôle l'ordre de grandeur. « Contrôle par le bon sens : 5² vaut 25, bien plus que 5 × 2 = 10. Élever au carré fait grandir vite, et le cube encore plus — 3³ = 27 alors que 3 × 3 ne fait que 9. Si mon résultat ressemble à ce que donnerait une simple multiplication, c'est que j'ai lu l'exposant de travers. »
L'erreur à éviter : écrire 5² = 10, ou 4³ = 12. « Non : on ne multiplie pas la base par l'exposant. 5² = 5 × 5 = 25, et 4³ = 4 × 4 × 4 = 64. Autre confusion voisine : 2³ = 8 alors que 3² = 9 — échanger la base et l'exposant change le résultat. »
Conclusion : A = 53.

La méthode que je viens de dérouler

  1. a² = a × a, et a³ = a × a × a. Jamais a × 2 ni a × 3.
  2. La puissance se calcule avant les multiplications et les divisions.
  3. À connaître par cœur : les carrés jusqu'à 12² = 144, et 10³ = 1 000.
  4. Une aire se calcule avec un carré, un volume avec un cube : l'exposant dit le nombre de dimensions.
  5. Contrôle : élever au carré fait grandir beaucoup plus que multiplier par 2.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Carrés et cubes

8² = 8 × 8 = 64 · 11² = 11 × 11 = 121 · 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 · 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. Le cube grimpe beaucoup plus vite que le carré.

Ex 2 — Écrire sous forme de puissance

5 × 5 × 5 s'écrit 5³ et vaut 125. Et 49 = 7². Attention, 64 s'écrit de deux façons : 8² et 4³ — un même nombre peut être à la fois un carré et un cube.

Ex 3 — Une aire

Un terrain carré de 12 m de côté a une aire de 12² = 144 m². C'est bien un carré qui apparaît : on multiplie deux longueurs, d'où l'unité en m².

Ex 4 — Un volume

Une caisse cubique de 7 cm d'arête a un volume de 7³ = 343 cm³. Cette fois trois longueurs sont multipliées : l'exposant 3 et l'unité cm³ disent la même chose.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Prononce la puissance en entier avant de calculer : « cinq au carré, c'est cinq fois cinq ». Tant qu'on ne le dit pas, la main a tendance à écrire cinq fois deux.
Exo guidé 1 — carrés et cubes

Calcule 8², puis 3³, puis 10³.

Étape 1 — Calcule 8², c'est-à-dire 8 × 8
8² =
Huit fois huit — surtout pas huit fois deux.
Étape 2 — Calcule 3³, c'est-à-dire 3 × 3 × 3
3³ =
3 × 3 = 9, puis 9 × 3.
Étape 3 — Calcule 10³
10³ =
10 × 10 × 10 : un 1 suivi de trois zéros.
Rédaction attendue

8² = 8 × 8 = 64 · 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 · 10³ = 1 000.

Remarque la différence : 3³ = 27 alors que 3 × 3 ne fait que 9. ✔

Exo guidé 2 — la puissance dans un calcul

Calcule 3 + 2 × 5².

Étape 1 — Dans 3 + 2 × 5², quelle opération se fait en premier ? (puissance, multiplication ou addition)
d'abord la
La puissance a la priorité la plus haute, juste après les parenthèses.
Étape 2 — Calcule 5²
5 × 5.
Étape 3 — Poursuis avec la multiplication : 2 × 25
Le produit vient après la puissance.
Étape 4 — Termine par l'addition : 3 + 50
résultat =
La dernière opération à faire.
Rédaction attendue

3 + 2 × 5² = 3 + 2 × 25 = 3 + 50 = 53.

La puissance passe avant la multiplication, qui passe avant l'addition. ✔

Exo guidé 3 — écrire sous forme de puissance

Écris 5 × 5 × 5 sous forme de puissance, puis calcule.

Étape 1 — Dans 5 × 5 × 5, combien de fois le nombre 5 est-il écrit ?
nombre de facteurs :
Compte-les : c'est ce nombre qui devient l'exposant.
Étape 2 — Ce produit s'écrit donc 5³. Calcule sa valeur
5³ =
25 × 5.
Rédaction attendue

Le nombre 5 est écrit trois fois, donc 5 × 5 × 5 = 5³ = 125.

L'exposant compte les facteurs, il ne les multiplie pas. ✔

Exo guidé 4 — aire et volume

Une pièce carrée a une aire de 81 m². Une caisse cubique a une arête de 7 cm.

Étape 1 — Une pièce carrée a une aire de 81 m². Quel nombre, élevé au carré, donne 81 ?
le côté mesure
Cherche dans la liste des carrés : 8² = 64, 9² = 81.
Étape 2 — Une caisse cubique a une arête de 7 cm. Calcule son volume, 7³
volume =
7 × 7 = 49, puis 49 × 7.
Rédaction attendue

Le côté de la pièce mesure 9 m, car 9² = 81.

Le volume de la caisse vaut 7³ = 343 cm³.

L'exposant dit le nombre de dimensions : 2 pour une aire, 3 pour un volume. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu poses ton calcul sur ton cahier et tu ne saisis que le résultat. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1

Calcule 6³.

Ta réponse (un nombre)
Correction

6³ = 6 × 6 × 6. On calcule d'abord 6 × 6 = 36, puis 36 × 6 = 216.

Contrôle : 216 est bien plus grand que 6 × 3 = 18. Le cube fait grandir très vite. ✔

Exo 2 — trouve l'erreur

Un élève écrit : « 4³ = 12 ». Que vaut réellement 4³ ?

Ta réponse (un nombre)
Correction

4³ = 4 × 4 × 4 = 16 × 4 = 64.

L'élève a multiplié la base par l'exposant, ce qui donne 12 — cinq fois moins que la vraie valeur.

Remarque au passage que 64 s'écrit aussi 8² : un même nombre peut être à la fois un carré et un cube. ✔

Exo 3 — comparer sans se tromper

Lequel est le plus grand : 2³ ou 3² ? Donne la valeur du plus grand des deux.

Ta réponse (un nombre)
Correction

2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et 3² = 3 × 3 = 9.

C'est donc 3² le plus grand, d'un seul point d'écart.

Cet exemple montre qu'on ne peut pas comparer deux puissances « à vue » : échanger la base et l'exposant change le résultat, et pas toujours dans le sens qu'on croit. ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là demandent de justifier ou de modéliser.

Exo 1 · Moyen Raisonner

Vrai ou faux, en justifiant : a) 5² = 10 · b) 2⁴ = 4² · c) 1⁵⁰ = 50 · d) 10⁴ = 10 000.

Exo 2 · Défi Modéliser Calculer

Un sac contient 4 boîtes, chaque boîte contient 4 sachets, et chaque sachet contient 4 bonbons. Combien de boîtes, de sachets, puis de bonbons ? Écris le nombre de bonbons sous forme de puissance.

Exo 3 · Défi Chercher

Trouve tous les nombres inférieurs à 100 qui sont à la fois un carré et un cube. Combien y en a-t-il ?

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • a² = a × a (carré) · a³ = a×a×a (cube) · an = n facteurs.
  • 10n = 1 suivi de n zéros.
  • a² ≠ a × 2 et a³ ≠ a × 3.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la première pensée en bleu explique d'où vient l'erreur — on lit le petit chiffre comme un facteur, alors qu'il COMPTE les facteurs.

La suite logique : en 4e, les exposants négatifs et l'écriture scientifique, pour écrire des nombres immenses ou minuscules sans aligner les zéros.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais l'exo guidé 1 : carrés et cubes de tête.

J+7

Refais l'exo guidé 2 (les priorités) et l'exo autonome 1.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 3 : 2³ contre 3².

Pour aller plus loin

Q1. Combien de cubes 1 cm dans un cube 10 cm ?

Q2. Population mondiale ~8 milliards. Écris avec puissance de 10.

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