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Triangles — angles, aire, droites remarquables

Cinquième · Espace et géométrie · BO 2026 (cycle 4)

Somme des angles et sa démonstration, aire, hauteurs, médianes, cercle circonscrit, constructions.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Calculer un angle manquant dans un triangle, y compris dans un triangle isocèle.
  • Dire si un triangle est constructible à partir de trois longueurs.
  • Reconnaître la nature d'un triangle à partir de ses angles.

Tu auras réussi si…

  • Tu pars toujours de la somme des angles : 180°, sans exception.
  • Dans un triangle isocèle, tu sais lesquels des trois angles sont égaux.
  • Tu vérifies en réadditionnant les trois angles.
  • Pour l'existence d'un triangle, tu compares le plus grand côté à la SOMME des deux autres.

À quoi ça sert : Savoir qu'un triangle est entièrement déterminé par très peu d'informations, c'est ce qui permet aux charpentiers, aux géomètres et aux ingénieurs de construire des structures rigides — le triangle est la seule figure qui ne se déforme pas.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180°, et tracer une hauteur ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Triangle, sommets, côtés, angles.
  • Triangles particuliers (équilatéral, isocèle, rectangle) du 6e.
  • Somme angles 180° (6e).
  • Règle, équerre, compas, rapporteur.
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Rappel de 6ᵉ : l'inégalité triangulaire

Chaque côté est plus petit que la somme des deux autres. Pour qu'un triangle existe : plus grand côté < somme des deux autres.

3, 4, 8 → 8 > 7 → impossible.

Depuis le BO 2025, cette propriété est vue en 6ᵉ. On la reprend ici parce qu'elle sert à construire.

2.2 — Somme des angles, et sa démonstration

 + B̂ + Ĉ = 180°

En 5ᵉ on ne se contente plus de l'admettre : on la démontre, à l'aide des angles et des droites parallèles.

Démonstration. Par le sommet A, on trace la droite (d) parallèle à (BC). Les angles que (AB) forme avec (d) et avec (BC) sont alternes-internes : ils sont égaux, donc l'angle en B se retrouve en A. Même chose avec (AC) pour l'angle en C. Les trois angles se retrouvent alors côte à côte en A, formant un angle plat : leur somme vaut 180°. ∎

Prérequis : le chapitre « Angles et parallélisme ».

2.3 — Aire d'un triangle

aire = base × hauteur ÷ 2

La hauteur doit être celle qui correspond à la base choisie : c'est la distance du sommet opposé à cette base.

Base 6 cm, hauteur 4 cm : aire = 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm².

Piège

La hauteur n'est pas un côté (sauf dans le triangle rectangle). Elle peut même tomber en dehors du triangle si un angle est obtus.

2.4 — Les droites remarquables
  • Médiatrice d'un côté : la perpendiculaire qui passe par son milieu. Les trois médiatrices se coupent en un même point, centre du cercle circonscrit (le cercle qui passe par les trois sommets).
  • Hauteur issue d'un sommet : la perpendiculaire au côté opposé passant par ce sommet. Les trois hauteurs sont concourantes.
  • Médiane issue d'un sommet : la droite qui joint ce sommet au milieu du côté opposé.

Propriété à démontrer. Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire. En effet, les deux triangles obtenus ont des bases de même longueur (le milieu coupe le côté en deux parts égales) et la même hauteur issue du sommet : même base et même hauteur, donc même aire. ∎

Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base, la hauteur, la médiane issues du sommet principal sont confondues. Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.

2.5 — Triangles particuliers
  • Isocèle : 2 côtés et 2 angles base égaux.
  • Équilatéral : 3 côtés et 3 angles 60°.
  • Rectangle : angle droit ; hypoténuse = + grand côté.
  • Rectangle isocèle : 90°, 45°, 45°.
2.6 — Construire un triangle

3 côtés : vérifier inégalité + compas. 2 côtés + 1 angle entre : rapporteur. 1 côté + 2 angles : rapporteur aux extrémités.

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Les deux angles qui manquent, en sachant que deux d'entre eux sont égaux. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Deux mesures en degrés, égales entre elles. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Je réadditionnerai les trois angles : ils devront faire exactement 180°. »
Le triangle MNP est isocèle en M, et l'angle en M mesure 40°. Je calcule les deux autres angles.
  1. 1
    Je traduis « isocèle en M ». Les angles en N et P sont égaux. « « Isocèle en M » veut dire que M est le sommet principal : les deux côtés qui partent de M ont la même longueur. Ce sont donc les deux angles de la BASE, en N et en P, qui sont égaux entre eux — pas l'angle en M. C'est la lecture qui décide de tout le reste. »
  2. 2
    J'écris la somme des angles. 40 + N + P = 180. « La somme des trois angles d'un triangle vaut toujours 180°, quel que soit le triangle. J'écris donc : 40 + N + P = 180. »
  3. 3
    Je retire l'angle connu. N + P = 140. « 180 − 40 = 140. Attention : 140°, ce n'est PAS la valeur d'un angle, c'est ce que les deux angles restants valent À EUX DEUX. »
  4. 4
    Je partage en deux, puisque les deux angles sont égaux. 140 ÷ 2 = 70°. « Et c'est maintenant que l'information « isocèle » sert : les deux angles étant égaux, chacun vaut la moitié de 140, donc 70°. Sans cette information, je ne pourrais pas aller plus loin — je saurais seulement que leur somme fait 140. »
  5. 5
    Je réadditionne les trois angles. « 40 + 70 + 70 = 180. ✔ Et les deux angles de la base sont bien égaux entre eux, ce qui est cohérent avec un triangle isocèle. Deux contrôles pour le prix d'un. »
L'erreur à éviter : écrire directement N = 180 − 40 = 140°. « Non : 140°, c'est la somme des DEUX angles restants, pas la valeur de l'un d'eux. Et le contrôle le dit tout de suite — un angle de 140° avec un autre de 40° ferait déjà 180 à eux deux, il ne resterait rien pour le troisième. »
Conclusion : Les angles en N et en P mesurent chacun 70°.

La méthode que je viens de dérouler

  1. La somme des trois angles d'un triangle vaut toujours 180°.
  2. « Isocèle en M » : les deux angles égaux sont ceux de la base, en N et en P.
  3. Je retire l'angle connu de 180, puis je partage le reste en deux si les deux angles restants sont égaux.
  4. Contrôle : je réadditionne les trois angles, je dois retomber sur 180.
  5. Pour savoir si un triangle existe : le plus grand côté doit être strictement plus petit que la somme des deux autres.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Un triangle impossible

Peut-on construire un triangle de côtés 5, 6 et 12 cm ? Le plus grand côté vaut 12, et les deux autres font 5 + 6 = 11. Comme 12 > 11, les deux petits côtés sont trop courts pour se rejoindre : c'est impossible.

Ex 2 — Le troisième angle

Dans un triangle, Â = 70° et B̂ = 50°. Les deux ensemble font 120°, donc Ĉ = 180 − 120 = 60°. Contrôle : 70 + 50 + 60 = 180. ✔

Ex 3 — Isocèle, dans l'autre sens

Un triangle isocèle a ses deux angles de base égaux à 65°. Combien mesure l'angle au sommet ? Les deux angles de base font 130° à eux deux, donc le sommet vaut 180 − 130 = 50°.

Ex 4 — Reconnaître la nature

Un triangle a deux angles de 40° et 70°. Le troisième vaut 180 − 110 = 70°. Deux angles sont égaux (70° et 70°), donc le triangle est isocèle. La nature d'un triangle se lit sur ses angles autant que sur ses côtés.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Après avoir retiré l'angle connu, prononce ce que représente le reste : « cent quarante degrés, c'est ce que valent les deux autres ENSEMBLE ». C'est là que se joue l'erreur la plus fréquente.
Exo guidé 1 — le troisième angle

Dans un triangle ABC, Â = 70° et B̂ = 50°. Calcule Ĉ.

Étape 1 — Additionne les deux angles connus : 70 + 50
Les deux angles donnés par l'énoncé.
Étape 2 — Retire ce total de 180 : 180 − 120
le troisième angle vaut
Ce qui reste pour le dernier angle.
Étape 3 — Vérifie : additionne les trois angles, 70 + 50 + 60
Le contrôle qui doit toujours retomber sur 180.
Rédaction attendue

La somme des angles d'un triangle vaut 180°, donc Ĉ = 180 − (70 + 50) = 180 − 120 = 60°.

Vérification : 70 + 50 + 60 = 180. ✔

Exo guidé 2 — un triangle isocèle

Un triangle isocèle a un angle de 80° à son sommet principal. Combien mesurent les deux angles de la base ?

Étape 1 — Le triangle est isocèle et l'angle au sommet vaut 80°. Retire-le de 180
il reste
180 − 80. Attention : c'est ce que valent les DEUX autres angles ensemble.
Étape 2 — Les deux angles de la base sont égaux : partage 100 en deux
chaque angle de base vaut
100 ÷ 2.
Étape 3 — Vérifie : 80 + 50 + 50
On doit retomber sur 180.
Rédaction attendue

Les deux angles de base valent ensemble 180 − 80 = 100°.

Comme ils sont égaux, chacun mesure 100 ÷ 2 = 50°. Vérification : 80 + 50 + 50 = 180. ✔

Exo guidé 3 — ce triangle existe-t-il ?

Peut-on construire un triangle de côtés 4 cm, 4 cm et 10 cm ?

Étape 1 — On veut un triangle de côtés 4, 4 et 10 cm. Quel est le plus grand côté ?
le plus grand côté est
Compare les trois longueurs.
Étape 2 — Additionne les deux autres : 4 + 4
La somme des deux petits côtés.
Étape 3 — Le triangle est-il constructible ? (oui ou non)
Le plus grand côté (10) dépasse la somme des deux autres (8) : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.
Rédaction attendue

Le plus grand côté mesure 10 cm, et les deux autres font 4 + 4 = 8 cm.

Comme 10 > 8, ce triangle est impossible : les deux petits côtés sont trop courts pour se rejoindre au-dessus du grand. ✔

Exo guidé 4 — reconnaître la nature

Un triangle a deux angles mesurant 40° et 70°. Quelle est sa nature ?

Étape 1 — Un triangle a des angles de 40° et 70°. Calcule le troisième
troisième angle =
180 − (40 + 70).
Étape 2 — Deux angles sont égaux. Quelle est la nature du triangle ? (isocèle, équilatéral ou rectangle)
le triangle est
Deux angles égaux vont toujours de pair avec deux côtés égaux.
Rédaction attendue

Le troisième angle vaut 180 − (40 + 70) = 70°.

Deux angles sont égaux (70° et 70°), donc le triangle est isocèle — et les côtés opposés à ces deux angles ont la même longueur. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu poses ton raisonnement sur ton cahier et tu ne saisis que le résultat. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1

Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 6 cm, 8 cm et 14 cm ? Réponds par oui ou non.

Ta réponse
Correction

Le plus grand côté mesure 14 cm, et les deux autres font 6 + 8 = 14 cm.

Les deux valeurs sont ÉGALES : les deux petits côtés se couchent exactement sur le grand, les trois sommets sont alignés et le triangle est aplati.

Donc non, ce triangle n'existe pas. Pour qu'un triangle existe, il faut que le plus grand côté soit strictement plus petit que la somme des deux autres. ✔

Exo 2

Un triangle possède un angle obtus de 120°. Combien vaut la somme des deux autres angles, en degrés ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)
Correction

La somme des trois angles vaut 180°, donc les deux autres valent ensemble 180 − 120 = 60°.

On en déduit une propriété générale : si un triangle a un angle obtus, il ne reste que 60° à partager pour les deux autres — ils sont donc forcément aigus tous les deux.

Un triangle ne peut jamais avoir deux angles obtus. ✔

Exo 3 — un peu de recherche

Dans un triangle, un angle est le double d'un autre, et le troisième mesure 30°. Combien mesure le plus GRAND des trois angles ?

Ta réponse (un nombre, sans unité)
Correction

Les deux angles inconnus valent ensemble 180 − 30 = 150°.

L'un vaut une part, l'autre deux parts : cela fait 3 parts pour 150°, donc une part vaut 150 ÷ 3 = 50°.

Les deux angles mesurent donc 50° et 100°, et le plus grand est 100°. Vérification : 30 + 50 + 100 = 180. ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là se font au compas, à la règle ou en rédigeant.

Exo 1 · Moyen Représenter

Construis : a) un triangle équilatéral de 5 cm de côté · b) un triangle isocèle de base 6 cm et de côtés égaux 5 cm · c) un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 4 et 3 cm.

Exo 2 · Moyen Raisonner

Démontre qu'une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire. Aide-toi de la base et de la hauteur.

Exo 3 · Défi Modéliser

Un randonneur marche 800 m, puis 600 m dans une autre direction, puis rentre en ligne droite. Entre quelles valeurs la longueur de cette troisième étape peut-elle se situer ?

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • Inégalité : chaque côté < somme des 2 autres.
  • Somme angles = 180°.
  • Isocèle 2 angles base égaux. Équilatéral 60°/60°/60°. Rectangle 1 angle droit + hypoténuse.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la troisième pensée en bleu prévient de l'erreur la plus fréquente — confondre « ce que valent les deux angles ensemble » et « ce que vaut chacun d'eux ».

La suite logique : en 4e, le théorème de Pythagore et le théorème des milieux, qui donnent des longueurs là où l'on n'avait que des angles.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais l'exo guidé 2 : le triangle isocèle.

J+7

Refais l'exo guidé 3 (le triangle impossible) et l'exo autonome 1.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 3 (l'angle double).

Pour aller plus loin

Q1. Triangle avec 2 angles droits, possible ?

Q2. Doubler côtés, angles changent ?

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