Cinquième · Espace et géométrie · BO 2026 (cycle 4)
Perspective cavalière, patrons, aire du disque, volumes du cube, du pavé, du prisme et du cylindre.
À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça
Tu auras réussi si…
À quoi ça sert : Remplir un aquarium, choisir une citerne, savoir combien de litres contient une bouteille ou une piscine : le volume se calcule en géométrie, mais il se lit en litres. Savoir passer de l'un à l'autre est ce qui rend le calcul utile.
Question honnête : où en es-tu ?
Un solide est en trois dimensions, la feuille en a deux. La perspective cavalière est une convention de dessin qui permet de le représenter :
Ce qui est parallèle dans la réalité reste parallèle sur le dessin ; en revanche les angles droits et les longueurs fuyantes ne sont pas conservés.
Sur une perspective cavalière d'un cube, les faces de côté sont dessinées comme des parallélogrammes. Ce sont pourtant bien des carrés : on ne mesure pas sur le dessin.
Un patron est le solide « déplié » à plat, en un seul morceau, qui permet de le reconstruire par pliage.
Savoir passer du solide au patron et du patron au solide, c'est la même compétence dans les deux sens.
aire du disque = π × r²
Rayon 3 cm : aire = π × 9 ≈ 28,3 cm².
Ne pas confondre le périmètre du cercle (2 × π × r, en cm) et l'aire du disque (π × r², en cm²). Si l'énoncé donne le diamètre, le rayon en est la moitié.
cube : V = a × a × a = a³ · pavé droit : V = L × l × h
Pavé 5 × 3 × 4 : V = 60 cm³. Cube d'arête 5 : V = 125 cm³.
Ces deux formules sont en fait des cas particuliers de la suivante : la base est un rectangle.
2 bases identiques (polygones) parallèles + faces latérales rectangulaires.
V = aire base × hauteur
Ex : base triangle 12 cm², h=8 → V = 96 cm³.
2 bases circulaires + face latérale courbe. Caractérisé par rayon r et hauteur h.
V = π × r² × h
Ex : r=3, h=10 → V = 90π ≈ 282,7 cm³.
1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³. 1 L = 1 dm³. 1 mL = 1 cm³. 1 m³ = 1 000 L.
Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.
Avant de me lancer, je me pose trois questions
La méthode que je viens de dérouler
Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.
À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.
Base triangulaire de 6 cm sur 4 cm, donc d'aire 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm² ; hauteur du prisme 10 cm. Volume = 12 × 10 = 120 cm³. On calcule toujours la base d'abord.
Rayon 5 cm, hauteur 12 cm : aire de la base π × 25 = 25π cm², donc V = 25π × 12 = 300π ≈ 942 cm³.
Une cuve de 1,5 m³ contient 1,5 × 1 000 = 1 500 L. Le passage du mètre cube au litre se fait toujours par 1 000.
Bassin de 8 m sur 4 m, profondeur 1,5 m : V = 8 × 4 × 1,5 = 48 m³, soit 48 000 litres. Le calcul est simple, mais c'est la conversion qui donne au résultat un sens concret.
Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît sur demande — et tout seul après deux essais ratés.
Calcule le volume d'un cube d'arête 4 cm, puis celui d'un pavé droit de 6 cm × 3 cm × 5 cm.
Cube : V = 4³ = 64 cm³. Pavé droit : V = 6 × 3 × 5 = 90 cm³.
Ce sont deux cas particuliers de « aire de la base × hauteur », avec une base rectangulaire. ✔
Un prisme droit a une base d'aire 18 cm² et une hauteur de 7 cm. Calcule son volume.
V = aire de la base × hauteur = 18 × 7 = 126 cm³.
Aucune division par 3 : ce solide n'est pas pointu, il monte droit. ✔
Un cylindre a un rayon de 4 cm et une hauteur de 9 cm. Calcule son volume en prenant π = 3,14.
Aire de la base : 3,14 × 4² = 3,14 × 16 = 50,24 cm².
Volume : 50,24 × 9 = 452,16 cm³, soit environ 452 mL. ✔
Trois conversions, avec le facteur qui n'est ni 10 ni 100.
5 dm³ = 5 000 cm³ · 3 m³ = 3 000 L · 2,5 L = 2,5 dm³.
Pour les volumes, chaque changement d'unité multiplie ou divise par 1 000. Et le litre est exactement le décimètre cube : le nombre ne change pas. ✔
Plus d'étapes toutes prêtes : tu poses ton calcul sur ton cahier et tu ne saisis que le résultat. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.
Une boîte de conserve cylindrique a un rayon de 3,5 cm et une hauteur de 11 cm. Quelle est sa capacité en millilitres, arrondie à l'unité ?
Aire de la base : π × 3,5² = π × 12,25 ≈ 38,48 cm².
Volume : 38,48 × 11 ≈ 423 cm³, donc une capacité d'environ 423 mL.
Contrôle : c'est bien l'ordre de grandeur d'une boîte de conserve courante. ✔
Léa affirme que 1 m³ vaut 100 L. Combien de litres vaut réellement 1 m³ ?
Un mètre cube contient 10 cubes de 1 dm en longueur, 10 en largeur et 10 en hauteur, soit 10 × 10 × 10 = 1 000 décimètres cubes.
Comme 1 dm³ = 1 L, on a bien 1 m³ = 1 000 L.
Léa a utilisé le facteur des aires (100). Longueurs : 10. Aires : 100. Volumes : 1 000. ✔
Un aquarium mesure 80 cm de long, 40 cm de large et 50 cm de haut. Rempli aux trois quarts, combien de litres d'eau contient-il ?
Volume total : 80 × 40 × 50 = 160 000 cm³. Or 1 000 cm³ = 1 L, donc l'aquarium contient 160 L au maximum.
Rempli aux trois quarts : 160 × 3 ÷ 4 = 120 litres.
Contrôle : 120 L d'eau pèsent 120 kg — c'est pourquoi un aquarium de cette taille demande un meuble solide. ✔
Ceux-là demandent de dessiner ou de remonter une formule.
Dessine le patron d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 8 cm. Quelle doit être la longueur du rectangle qui forme la face latérale, et pourquoi ?
Convertis : a) 5 dm³ en cm³ · b) 3 m³ en litres · c) 1 500 mL en cm³ · d) 2,5 L en dm³. Indique à chaque fois le facteur utilisé.
Une bouteille cylindrique de 25 cm de haut a une capacité de 1,5 L. Quel est son rayon ? Prends π = 3,14 et arrondis au dixième de centimètre.
Coche ce que tu sais faire maintenant
S'il en reste un de décoché
Retourne à l'onglet Modelage : le contre-exemple récapitule les trois facteurs qu'il ne faut pas mélanger — 10 pour les longueurs, 100 pour les aires, 1 000 pour les volumes.
La suite logique : en 4e, la pyramide et le cône — mêmes bases, même hauteur, mais un tiers du volume seulement.
Refais l'exo guidé 3 : le cylindre, avec π × r².
Refais l'exo guidé 4 (les conversions) et l'exo autonome 3.
Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 2 : 1 m³ en litres.
Q1. Pourquoi un π dans V du cylindre ?
Q2. Doubler les dimensions d'un pavé : V × ?