G Y
clicmaths.fr
Du collège au lycée · cours, exos, sujets

Problèmes à nombres inconnus

Sixième · Pensée algébrique · BO 2025 (cycle 3)

Découvrir l'algèbre avec des schémas en barres, des balances et le signe = comme équivalence.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Trouver un nombre caché dans une égalité.
  • Résoudre un problème à deux quantités en dessinant un schéma en barres.
  • Employer le signe = correctement, comme une balance en équilibre.

Tu auras réussi si…

  • Tu écris « = » seulement entre deux choses qui valent vraiment la même chose.
  • Tu cherches d'abord la plus PETITE des deux quantités.
  • Ton schéma montre ce qui se répète et ce qui est en trop.
  • Tu vérifies TOUTES les conditions de l'énoncé, pas seulement le total.

À quoi ça sert : Partager une somme entre deux personnes qui n'ont pas la même part, retrouver un prix unitaire, deviner le nombre de départ d'un programme de calcul : ces problèmes se résolvent bien avant de savoir écrire une équation — avec un dessin.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu trouver le nombre caché : ☐ + 7 = 12 ?
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Les 4 opérations.
  • Résoudre un problème simple en mots.
Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Le signe = comme équivalence

« = » signifie « vaut », pas « donne le résultat ». 5+3 = 4×2 est vrai (8 = 8).

2.2 — Problème à inconnue

Inconnue = case ☐, boîte, ou lettre. Ex : ☐ + 7 = 12 → ☐ = 5.

2.3 — Schéma en barres

On représente les quantités en barres. Inconnue = barre de longueur à trouver.

Léa : ☐ Sami : ☐ +5 Total = 27 €

Ex : Sami a 5 € de plus que Léa, total 27 €. 2×☐+5=27 → ☐=11. Léa 11, Sami 16.

2.4 — Balance

Équilibre = même poids des 2 côtés. On peut ajouter/retirer la même chose des 2 côtés.

2.5 — Suites et régularités

Repérer un motif : 2, 4, 6, 8 (+2). 1, 4, 9, 16 (carrés). 10ᵉ terme de +2 = 20.

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Deux sommes d'argent : celle de Léa et celle de Sami. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Deux nombres en euros, dont la somme fait 27 et l'écart 5. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Je vérifierai les deux choses : le total ET l'écart de 5 €. »
Sami a 5 € de plus que Léa. À eux deux, ils ont 27 €. Combien chacun a-t-il ?
  1. 1
    Je choisis quelle quantité chercher en premier. Celle de Léa. « Je ne peux pas chercher les deux nombres en même temps. Je vais donc chercher le PLUS PETIT, celui de Léa : une fois que je l'aurai, celui de Sami s'obtiendra en ajoutant 5. »
  2. 2
    Je dessine un schéma en barres. « Je trace deux barres l'une sous l'autre. Celle de Léa, et celle de Sami : la même longueur, plus un petit morceau de 5 €. En dessinant, je vois d'un coup ce qui se répète et ce qui est en trop — alors qu'en lisant l'énoncé, cela reste flou. »
  3. 3
    J'enlève le morceau en trop. 27 − 5 = 22 €. « Si j'enlève les 5 € en trop chez Sami, les deux barres deviennent exactement identiques. Et le total descend à 27 − 5 = 22 €. C'est le geste décisif de tout le problème. »
  4. 4
    Je partage en deux, puis je reviens à Sami. Léa 11 €, Sami 16 €. « Les deux barres sont maintenant égales, alors je partage : 22 ÷ 2 = 11. Léa a donc 11 €. Et Sami, qui a 5 € de plus, en a 11 + 5 = 16. »
  5. 5
    Je vérifie les DEUX conditions de l'énoncé. « Deux vérifications, et il faut les deux. Le total : 11 + 16 = 27 ✔. L'écart : 16 − 11 = 5 ✔. Si je n'avais vérifié que le total, j'aurais pu accepter 13 et 14, qui font bien 27 mais dont l'écart n'est pas 5. »
L'erreur à éviter : Mia écrit « 2 + 3 = 5 + 4 = 9 ». « Le signe = veut dire "vaut la même chose", pas "et ensuite". Elle a donc écrit que 5 vaut 9, ce qui est faux. Il fallait deux lignes : 2 + 3 = 5, puis 5 + 4 = 9. »
Conclusion : Léa a 11 €, et Sami 16 €.

La méthode que je viens de dérouler

  1. Le signe = veut dire « vaut la même chose des deux côtés », comme une balance en équilibre.
  2. Je cherche d'abord la plus petite des deux quantités.
  3. Le schéma en barres montre ce qui se répète et ce qui est en trop.
  4. J'enlève ce qui est en trop du total, puis je partage.
  5. Contrôle : je vérifie toutes les conditions de l'énoncé, pas seulement le total.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — Trouver le nombre caché

☐ + 13 = 25 : je cherche ce qu'il faut ajouter à 13 pour faire 25, donc ☐ = 25 − 13 = 12. De même, 3 × ☐ = 21 donne ☐ = 21 ÷ 3 = 7. On défait l'opération.

Ex 2 — Deux âges

Léo a 8 ans de moins que sa sœur, et ensemble ils ont 38 ans. J'enlève l'écart : 38 − 8 = 30, puis je partage : 30 ÷ 2 = 15. Léo a 15 ans, sa sœur 23 ans. Contrôle : 15 + 23 = 38 et 23 − 15 = 8. ✔

Ex 3 — Le signe égal

7 + 5 = 4 × ☐. À gauche, cela vaut 12. Il faut donc que 4 × ☐ vaille aussi 12, d'où ☐ = 3. Le signe = relie deux écritures d'un même nombre.

Ex 4 — Une suite

3, 6, 9, 12… : c'est la table de 3. Le 8ᵉ terme vaut donc 8 × 3 = 24. Repérer le motif évite d'écrire toute la liste.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît si tu le demandes — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Devant un problème à deux quantités, commence toujours par : « j'enlève ce qui est en trop, puis je partage ». C'est la phrase qui débloque presque tous ces énoncés.
Exo guidé 1 — le nombre caché

Trouve la valeur de ☐ dans chacune de ces trois égalités.

Étape 1 — Trouve le nombre caché : ☐ + 6 = 14
☐ =
Que faut-il ajouter à 6 pour obtenir 14 ?
Étape 2 — Trouve le nombre caché : ☐ × 5 = 35
☐ =
Combien de fois 5 tient-il dans 35 ?
Étape 3 — Trouve le nombre caché : 20 − ☐ = 8
☐ =
Que faut-il retirer à 20 pour qu'il reste 8 ?
Rédaction attendue

☐ + 6 = 14 donne ☐ = 8 · ☐ × 5 = 35 donne ☐ = 7 · 20 − ☐ = 8 donne ☐ = 12.

À chaque fois, on défait l'opération : on soustrait au lieu d'ajouter, on divise au lieu de multiplier. ✔

Exo guidé 2 — deux âges

Léo a 8 ans de moins que sa sœur. À eux deux, ils ont 38 ans. Quel âge a chacun ?

Étape 1 — Léo a 8 ans de moins que sa sœur, et ensemble ils ont 38 ans. Enlève l'écart du total : 38 − 8
En retirant l'écart, les deux barres deviennent identiques.
Étape 2 — Partage en deux : 30 ÷ 2
âge de Léo =
Les deux parts sont maintenant égales.
Étape 3 — Calcule l'âge de sa sœur : 15 + 8
âge de la sœur =
Elle a 8 ans de plus que Léo.
Rédaction attendue

J'enlève l'écart : 38 − 8 = 30. Je partage : 30 ÷ 2 = 15.

Léo a 15 ans et sa sœur 23 ans. Contrôle : 15 + 23 = 38 ✔ et 23 − 15 = 8 ✔.

Exo guidé 3 — le signe égal

Ces trois égalités sont-elles vraies ?

Étape 1 — L'égalité 5 + 3 = 4 + 4 est-elle vraie ? (oui ou non)
Calcule les deux côtés : 8 et 8.
Étape 2 — Et l'égalité 7 × 2 = 12 + 2 ? (oui ou non)
14 d'un côté, 14 de l'autre.
Étape 3 — Et l'égalité 10 = 2 + 9 ? (oui ou non)
2 + 9 fait 11, pas 10 : les deux côtés ne valent pas la même chose.
Rédaction attendue

5 + 3 = 4 + 4 est vraie (8 = 8) · 7 × 2 = 12 + 2 est vraie (14 = 14) · 10 = 2 + 9 est fausse (10 ≠ 11).

Le signe = ne veut pas dire « on trouve » : il dit que les deux côtés valent la même chose. ✔

Exo guidé 4 — les suites

Trouve le terme demandé sans écrire toute la liste.

Étape 1 — Dans la suite 3, 6, 9, 12… quel est le 8ᵉ terme ?
8ᵉ terme =
C'est la table de 3 : le 8ᵉ terme vaut 8 × 3.
Étape 2 — Dans la suite 5, 10, 15, 20… quel est le 10ᵉ terme ?
10ᵉ terme =
C'est la table de 5.
Rédaction attendue

3, 6, 9, 12… est la table de 3 : le 8ᵉ terme vaut 8 × 3 = 24.

5, 10, 15, 20… est la table de 5 : le 10ᵉ terme vaut 10 × 5 = 50. Repérer le motif remplace une longue liste. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu fais ton schéma sur ton cahier et tu ne saisis que le résultat. Si c'est faux, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1 — des bonbons

Léa a deux fois plus de bonbons que Sami. À eux deux, ils en ont 24. Combien Sami en a-t-il ?

Ta réponse (un nombre)
Correction

Sami a une part, Léa en a deux : cela fait 3 parts égales pour 24 bonbons.

Une part vaut 24 ÷ 3 = 8 bonbons — c'est ce qu'a Sami. Léa en a donc 16.

Contrôle : 8 + 16 = 24 ✔ et 16 est bien le double de 8 ✔.

Exo 2 — trouve l'erreur

Mia écrit : « 2 + 3 = 5 + 4 = 9 ». Combien vaut réellement 2 + 3 ?

Ta réponse (un nombre)
Correction

2 + 3 = 5. Mia a ensuite ajouté 4, ce qui donne 9 — mais elle a écrit tout cela sur une seule ligne.

Son écriture affirme que 5 = 9, ce qui est faux. Le signe = veut dire « vaut la même chose », pas « et ensuite ».

Il fallait écrire deux lignes : 2 + 3 = 5, puis 5 + 4 = 9. ✔

Exo 3 — un programme de calcul

Je pense à un nombre, je le multiplie par 4, puis j'ajoute 7 : j'obtiens 31. À quel nombre est-ce que je pensais ?

Ta réponse (un nombre)
Correction

Je remonte le programme à l'envers. Avant d'ajouter 7, on avait 31 − 7 = 24.

Et avant de multiplier par 4, on avait 24 ÷ 4 = 6.

Vérification : 6 × 4 = 24, puis 24 + 7 = 31. ✔ On défait les opérations dans l'ordre inverse de celui du programme.

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là se résolvent avec un schéma, ou en cherchant.

Exo 1 · Facile Modéliser

Trois cahiers identiques coûtent 7,50 €. Quel est le prix d'un cahier ? Et celui de cinq cahiers ?

Exo 2 · Moyen Raisonner

Trouve le 10ᵉ terme de chaque suite : a) 5, 10, 15, 20… · b) 1, 4, 7, 10… · c) 2, 4, 8, 16… Explique le motif de chacune.

Exo 3 · Défi Chercher Modéliser

Dans une ferme, il y a des poules et des lapins : 20 têtes et 56 pattes en tout. Combien de poules et combien de lapins ? Fais un schéma.

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • « = » signifie « vaut » (équivalence).
  • Inconnue = ☐ ou lettre.
  • Schéma en barres pour visualiser et résoudre.
  • Balance : ±la même chose des 2 côtés.
  • Suite : repérer la règle pour calculer un terme loin.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : la dernière pensée en bleu montre pourquoi vérifier le total ne suffit pas — 13 et 14 font bien 27, et pourtant ce n'est pas la bonne réponse.

La suite logique : en 5e, on remplacera la case ☐ par une lettre, et le schéma en barres par une écriture en une seule ligne.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais les exos guidés 1 et 3, puis relis la synthèse.

J+7

Refais les exos autonomes 1 et 3, puis reviens à ton auto-évaluation du départ.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo guidé 2. Si ça passe sans indice, c'est ancré.

Pour aller plus loin

Q1. Suite où chaque terme = triple du précédent, 1ᵉʳ = 2. 6ᵉ terme ?

Q2. 2 nombres dont somme = 100 et différence = 16.

✓ Retour sommaire 6ᵉ