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Fractions et écritures équivalentes

Sixième · Nombres et calcul · BO 2025 (cycle 3)

Fraction comme partage, comme quotient, fractions équivalentes, addition et soustraction.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

  • Compléter une fraction équivalente, dans un sens comme dans l'autre.
  • Additionner et soustraire deux fractions qui ont le même dénominateur.
  • Prendre une fraction d'une quantité, par exemple les trois huitièmes de 24 élèves.

Tu auras réussi si…

  • Tu multiplies en haut et en bas par le même nombre — et jamais tu n'ajoutes.
  • Quand tu additionnes deux fractions de même dénominateur, le dénominateur ne bouge pas.
  • Tu peux dire à quoi ressemble ta fraction : un peu plus que la moitié, presque un entier…
  • Ton résultat est bien une fraction (avec un numérateur ET un dénominateur), pas un nombre tout seul.

À quoi ça sert : Partager une recette pour six personnes au lieu de quatre, lire trois quarts d'heure sur une horloge, comprendre une remise de 25 % ou un sondage donnant deux tiers des voix : à chaque fois, on prend une partie d'un tout.

Étape 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu additionner deux fractions de même dénominateur et placer 34 sur une droite graduée ?
Pourquoi ? Faire le point active la métacognition — ton cerveau apprend 2× mieux.
Étape 02 / 07

Prérequis

  • Je sais ce qu'est une fraction simple : 12, 34.
  • Je sais placer un nombre sur une droite graduée.
  • Je connais les nombres décimaux.
Vérifie que tu sais

Q1. Combien de quarts dans une tarte ? Dans une demi-tarte ?

Q2. Compare : 12 et 14.

Réponses : Q1 → 4 et 2 ; Q2 → 1/2 > 1/4.

Étape 03 / 07

Cours

2.1 — Fraction comme partage

La fraction ab représente le partage d'une unité en b parts égales dont on prend a.

  • a = numérateur (nombre de parts prises)
  • b = dénominateur (nombre total de parts)

Ex : 34 d'un gâteau = partage en 4 parts, on prend 3.

2.2 — Fraction comme quotient (nouveauté 6e)

La fraction ab est aussi le quotient de a par b :

ab = a ÷ b

Ex : 34 = 3 ÷ 4 = 0,75.

Ex : 123 = 4 (fraction = entier).

2.3 — Placer une fraction sur une droite graduée
  1. On partage l'unité (entre 0 et 1) en b parts égales.
  2. On compte a parts depuis 0.

Ex : 34 entre 0 et 1 → 4 parts, on compte 3.

2.4 — Fractions équivalentes

Deux fractions sont équivalentes si elles représentent le même nombre.

ab = a × kb × k (k ≠ 0)

12 = 24 = 36 = 510

2.5 — Addition et soustraction (nouveauté 6e)

Même dénominateur : on garde le dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs.

an ± bn = a±bn

  • 25 + 15 = 35
  • 79 − 49 = 39
Piège

On n'additionne PAS les dénominateurs ! 13 + 13 = 23 (NON 26).

2.6 — Multiplication par un entier

k × ab = k × ab

Ex : 3 × 25 = 65.

2.7 — Lien fractions / décimaux / pourcentages
  • 710 = 0,7
  • 35100 = 0,35 = 35%

Un pourcentage = fraction de dénominateur 100 : 25% = 25100 = 0,25.

Étape 04 / 07
Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

  • 1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Écrire la même quantité de gâteau, mais avec des parts plus petites. »
  • 2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Une fraction avec 20 en bas, et un nombre que je dois trouver en haut. »
  • 3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Les deux fractions devront représenter la même part du gâteau : un peu plus de la moitié. »
Je complète l'égalité 3/5 = ?/20.
  1. 1
    Je regarde ce qui change : le dénominateur passe de 5 à 20. « Le dénominateur, c'est le nombre de parts dans le gâteau entier. On passe de 5 parts à 20 parts : le gâteau n'a pas changé de taille, on l'a seulement coupé plus fin. »
  2. 2
    Je cherche par combien on a multiplié. 5 × 4 = 20. « 5 fois combien font 20 ? C'est 4. Autrement dit, chaque part de départ a été recoupée en 4 morceaux. »
  3. 3
    Je fais exactement la même chose en haut. 3 × 4 = 12. « Si chaque part devient 4 petits morceaux, alors mes 3 parts deviennent 3 × 4 = 12 petits morceaux. Je multiplie le numérateur par le MÊME nombre — sinon je ne parlerais plus de la même quantité de gâteau. »
  4. 4
    J'écris la fraction équivalente. 3/5 = 12/20. « J'ai bien 20 en bas, comme demandé. »
  5. 5
    Je vérifie que les deux fractions sont bien la même part. « Est-ce que 12 sur 20, c'est bien un peu plus de la moitié, comme 3 sur 5 ? La moitié de 20, c'est 10 ; 12, c'est un peu plus. Ça colle. Et si je préfère les nombres décimaux : 3 ÷ 5 = 0,6 et 12 ÷ 20 = 0,6. »
L'erreur à éviter : voir que de 5 on va à 20 en ajoutant 15, et écrire 3 + 15 = 18, donc 18/20. « Non : on multiplie en haut et en bas, on n'ajoute pas. 18 sur 20, c'est presque tout le gâteau — alors que 3 sur 5, c'est à peine plus de la moitié. Ce n'est plus la même quantité du tout. »
Conclusion : 3/5 = 12/20.

La méthode que je viens de dérouler

  1. Je regarde le dénominateur : par combien a-t-il été multiplié ?
  2. Je multiplie le numérateur par ce même nombre.
  3. Multiplier en haut ET en bas — jamais ajouter.
  4. Je vérifie que la nouvelle fraction représente à peu près la même part.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — La fraction est aussi une division

Écrire 94 en nombre décimal : 94 = 9 ÷ 4 = 2,25. On peut le lire ainsi : deux gâteaux entiers, plus un quart.

Ex 2 — Compléter dans l'autre sens

Compléter 34 = 15☐. Cette fois, c'est le numérateur que je connais des deux côtés : de 3 à 15, on multiplie par 5. Je fais pareil en bas : 4 × 5 = 20.

Donc 34 = 1520.

Ex 3 — Additionner

37 + 27 : les parts ont la même taille (des septièmes), je peux donc les compter ensemble. 3 septièmes plus 2 septièmes font 5 septièmes.

Donc 37 + 27 = 57. Le 7 ne bouge pas : la taille des parts n'a pas changé.

Ex 4 — Une part de pizza

Léa mange 28 d'une pizza, son frère 38. Ensemble : 28 + 38 = 58.

Ils ont mangé les cinq huitièmes de la pizza, soit un peu plus de la moitié. Il en reste 38.

Étape 05 / 07
Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. Si tu bloques, clique sur « Indice » — et il apparaît tout seul après deux essais ratés.

🗣️
Dis-le à voix haute. Raconte le gâteau : « on coupe chaque part en 3, donc mes 2 parts deviennent 6 petites parts ». Si l'histoire tient debout, le calcul est bon.
Exo guidé 1 — compléter le numérateur

Complète : 23 = ☐9.

Étape 1 — De 3 à 9, on multiplie par combien ?
3 × ? = 9, donc ? =
Cherche : 3 fois combien font 9 ?
Étape 2 — Je fais exactement la même chose en haut : 2 × 3
le numérateur est
Chaque part de départ a été coupée en 3, donc mes 2 parts deviennent 6 petites parts.
Rédaction attendue

De 3 à 9, on multiplie par 3. Je multiplie donc aussi le numérateur par 3 : 2 × 3 = 6. Donc 2/3 = 6/9. Vérification : 6 sur 9, c'est bien un peu plus de la moitié, comme 2 sur 3.

Exo guidé 2 — compléter le dénominateur

Complète : 34 = 15☐.

Étape 1 — Ici c'est le numérateur que je connais des deux côtés. De 3 à 15, on multiplie par combien ?
3 × ? = 15, donc ? =
Cherche : 3 fois combien font 15 ?
Étape 2 — Je fais la même chose en bas : 4 × 5
le dénominateur est
En haut comme en bas, on multiplie par 5.
Rédaction attendue

De 3 à 15, on multiplie par 5. Je multiplie donc aussi le dénominateur par 5 : 4 × 5 = 20. Donc 3/4 = 15/20.

Exo guidé 3 — une addition

Calcule 37 + 27.

Étape 1 — Les deux fractions ont le même dénominateur. Lequel garde-t-on au résultat ?
dénominateur =
La taille des parts ne change pas quand on les compte ensemble : ce sont toujours des septièmes.
Étape 2 — J'additionne les numérateurs : 3 + 2
numérateur =
3 septièmes plus 2 septièmes : combien de septièmes en tout ?
Étape 3 — Écris le résultat en entier, sous la forme 5/7
résultat =
Le numérateur trouvé à l'étape 2, une barre oblique, le dénominateur de l'étape 1.
Rédaction attendue

Les deux fractions sont en septièmes : je garde 7 au dénominateur et j'additionne les numérateurs, 3 + 2 = 5. Donc 3/7 + 2/7 = 5/7.

Exo guidé 4 — la fraction comme division

Écris 74 sous forme décimale, puis dis combien cela fait de gâteaux entiers.

Étape 1 — Une fraction, c'est aussi une division. Calcule 7 ÷ 4
7 ÷ 4 =
4 tient une fois dans 7, il reste 3 ; et 3 ÷ 4 = 0,75.
Étape 2 — Combien de gâteaux entiers cela fait-il ?
gâteaux entiers :
1,75, c'est un peu plus que 1 mais moins que 2.
Rédaction attendue

7/4 = 7 ÷ 4 = 1,75. Cela fait un gâteau entier, plus trois quarts d'un deuxième gâteau.

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes : tu poses ton calcul sur ton cahier et tu ne saisis que la réponse. Si elle est fausse, le site te dit où ça a coincé. Essaie deux fois avant de demander l'indice.

Exo 1

Calcule 59 − 29. Écris ta réponse sous la forme 4/9.

Ta réponse
Correction

Les deux fractions sont en neuvièmes : la taille des parts ne change pas, donc le dénominateur reste 9.

J'enlève 2 neuvièmes à 5 neuvièmes : 5 − 2 = 3.

Donc 5/9 − 2/9 = 3/9 (ce qui fait aussi 1/3, car 3 × 3 = 9 et 1 × 3 = 3). ✔

Exo 2 — trouve l'erreur

Hugo écrit : « 13 + 13 = 26 ». Quel est le vrai résultat ? Écris-le sous la forme 4/9.

Ta réponse
Correction

Hugo a additionné les dénominateurs, ce qu'il ne faut jamais faire.

Un tiers plus un tiers, ce sont deux parts d'un gâteau coupé en 3 : 1/3 + 1/3 = 2/3.

D'ailleurs sa réponse 2/6 vaut 1/3, c'est-à-dire ce qu'il avait au départ : ajouter quelque chose ne peut pas laisser le résultat inchangé. ✔

Exo 3 — une fraction d'une quantité

Dans une classe de 24 élèves, 38 portent des lunettes. Combien d'élèves portent des lunettes ?

Ta réponse (un nombre d'élèves)
Correction

Je partage la classe en 8 parts égales : 24 ÷ 8 = 3 élèves par part.

Les trois huitièmes, ce sont 3 de ces parts : 3 × 3 = 9.

9 élèves portent des lunettes (et 15 n'en portent pas). Vérification : 9 + 15 = 24. ✔

Pour aller plus loin — à faire sur ton cahier

Ceux-là demandent un dessin ou une recherche : le site ne peut pas les corriger à ta place.

Exo 1 · Facile Représenter

Représente chaque fraction par un dessin (rectangle ou disque) :

  1. 14
  2. 23
  3. 58
Exo 2 · Moyen Représenter

Trace une droite graduée de 0 à 2 partagée en huitièmes, puis place : A = 38, B = 78, C = 118. Laquelle est plus grande que 1 ?

Exo 3 · Défi Chercher Raisonner

Trouve trois fractions équivalentes à 25, dont une avec 12 au numérateur et une avec 100 au dénominateur. Que vaut la troisième ? Écris aussi 25 en pourcentage.

Étape 06 / 07

Synthèse — À retenir

  • ab = partage en b parts dont on prend a = quotient a ÷ b.
  • Équivalentes : même nombre, on multiplie num. ET dén. par même k.
  • Add/sous : an ± bn = a±bn (ne touche pas au dén. !).
  • Fractions décimales (10, 100, 1000) → écriture décimale directe.
  • Pourcentage = fraction sur 100.
Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage et relis les pensées en bleu : elles racontent le gâteau qu'on coupe plus fin. Puis refais l'exo guidé correspondant sans ouvrir les indices.

La suite logique : en 5e, additionner des fractions qui n'ont pas le même dénominateur — et là, savoir fabriquer des fractions équivalentes devient indispensable.

Étape 07 / 07

Plan de révisions

J+1

Refais les exos guidés 1 et 3, puis relis la synthèse.

J+7

Refais les exos autonomes 1 et 3, puis reviens à ton auto-évaluation du départ.

J+30

Relis le modelage, puis refais l'exo guidé 2. Si ça passe sans indice, c'est ancré.

Pour aller plus loin

Q1. Trouve une fraction comprise entre 12 et 34.

Q2. Si tu multiplies num. et dén. par 0, ça marche ? Pourquoi ?

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