Nombres décimaux

Sixième · Nombres et calcul · BO 2025 (cycle 3)

Écriture, valeur positionnelle, fractions décimales, comparaison, arrondi.

Étape · Ouverture

Ce qu'on va faire, et comment tu sauras que c'est réussi

À la fin de ce chapitre, tu sais faire ça

Dire quel est le rang de chaque chiffre d'un nombre décimal, et ce qu'il vaut.
Comparer et ranger des nombres décimaux.
Passer d'une fraction décimale à l'écriture à virgule.

Tu auras réussi si…

Tu compares d'abord les parties entières, puis les rangs un par un.
Tu sais qu'après la virgule, avoir plus de chiffres ne veut pas dire être plus grand.
Tu peux ajouter des zéros à droite pour comparer plus facilement.
Un zéro au milieu de la partie décimale, tu ne l'oublies jamais.

À quoi ça sert : Des prix, des tailles, des temps de course, des notes : presque tous les nombres de la vie courante ont une virgule. Savoir les comparer, c'est savoir dire quel article est le moins cher ou quel coureur a gagné.

Étape 01 / 08

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu ?

Sais-tu lire un nombre décimal (comme 4,107) et comprendre la valeur de chaque chiffre ?

Pourquoi cette question ? Quand tu fais le point sur ce que tu sais (ou crois savoir), ton cerveau met l'attention au bon endroit. C'est la métacognition. Tu apprendras 2× mieux qu'en lisant passivement.

Étape 02 / 08

Prérequis (CM1/CM2)

Vérifie que tu maîtrises ces points avant de commencer le chapitre.

Je connais les rangs : unités, dizaines, centaines, milliers.
Je sais lire et écrire les entiers jusqu'au million.
Je comprends une fraction simple comme 12 ou 34.
Je sais placer un entier sur une droite graduée.

Vérifie que tu sais

Q1. Dans 4 352, quel est le chiffre des centaines ?

Q2. Écris en lettres : 7 019.

Réponses : Q1 → 3 ; Q2 → sept mille dix-neuf.

Étape 03 / 08

Activité de découverte

Tu pars en course avec 5 € en poche. Une baguette coûte 1,15 €.

Que signifient le « 1 » et les chiffres « ,15 » dans 1,15 € ?
Cherche par toi-même avant de regarder. Indice : le 1, c'est un euro. Et le ,15 ?
Si tu achètes 3 baguettes, combien dépenses-tu ?
Combien d'argent te reste-t-il ?
Place tes 3 montants (1,15 ; 3,45 ; 5) sur une droite allant de 0 à 6 €.

Voir les réponses

1,15 € = 1 euro + 15 centimes = 1 euro + 15 « centièmes d'euro ».
3 × 1,15 = 3,45 €.
5 − 3,45 = 1,55 €.

Tu viens de manipuler des décimaux avant qu'on te dise quoi faire. C'est la découverte active : ton cerveau retient bien mieux ce qu'il a cherché lui-même que ce qu'on lui a juste raconté.

Étape 04 / 08

Cours

2.1 — Écriture d'un nombre décimal

Un nombre décimal s'écrit avec une virgule séparant la partie entière (à gauche) de la partie décimale (à droite).

Nombre	Partie entière	Partie décimale
3,7	3	7
12,45	12	45
0,008	0	008
100,5	100	5

Un entier comme 5 est aussi un nombre décimal : on peut l'écrire 5,0.

2.2 — Valeur positionnelle (dixièmes, centièmes, millièmes)

Chaque chiffre d'un nombre décimal occupe un rang. Ce rang détermine sa valeur.

Milliers	Centaines	Dizaines	Unités	,	Dixièmes	Centièmes	Millièmes
1 000	100	10	1	,	0,1	0,01	0,001

Exemple : le nombre 4,107

Le 4 est au rang des unités : il vaut 4.
Le 1 est au rang des dixièmes : il vaut 110, soit 0,1.
Le 0 est au rang des centièmes : il vaut 0.
Le 7 est au rang des millièmes : il vaut 71000, soit 0,007.

À retenir

Un zéro intercalé dans la partie décimale compte : 4,107 ≠ 4,17.

2.3 — Fractions décimales et nombres décimaux

Une fraction décimale a pour dénominateur 10, 100, 1 000…

110 = 0,1 1100 = 0,01 11000 = 0,001

Ex 1. 3710 = 3,7. Ex 2. 245100 = 2,45.

Automatisme : ces écritures sont le même nombre :

41071000 = 4 + 1071000 = 4,107

2.4 — Placer un décimal sur une droite graduée

Repère les deux entiers consécutifs qui encadrent le décimal.
Subdivise l'intervalle en 10 parts (dixièmes), 100 (centièmes).
Place le point au rang voulu.

2.5 — Comparer, ranger, encadrer

On compare d'abord les parties entières.
Si égales, on compare chiffre par chiffre : dixièmes, puis centièmes…

Astuce : on peut ajouter des zéros à droite sans changer la valeur : 3,5 = 3,50 = 3,500.

7,3 > 5,9 (parties entières différentes).
4,72 > 4,68 : dixièmes différents (7 > 6).
0,305 > 0,3 car 0,3 = 0,300 et 5 > 0 (millièmes).

2.6 — Arrondir

Repère le chiffre au rang demandé.
Regarde le chiffre juste à droite (« décideur »).
Si décideur < 5 → on garde. Si décideur ≥ 5 → on ajoute 1.

Ex 1. 12,47 arrondi à l'unité : décideur 4 → 12. Ex 2. 12,47 au dixième : décideur 7 → 12,5.

Étape 05 / 08

Étape · Modelage

Je fais devant toi — tu observes

Avant que tu calcules toi-même, je déroule la méthode à voix haute. Lis mes pensées en bleu penché : c'est exactement le raisonnement que tu referas seul juste après.

Avant de me lancer, je me pose trois questions

1. Dans mes mots, on me demande quoi ? « Lequel de ces deux nombres est le plus grand. »
2. À quoi ressemblera le travail fini ? « Une comparaison écrite avec le signe plus petit ou plus grand. »
3. Comment je saurai que j'ai réussi ? « Je referai la comparaison d'une autre façon, en ajoutant des zéros, et je devrai trouver la même chose. »

Je compare 4,107 et 4,17. Lequel est le plus grand ?

1
Je compare d'abord les parties entières. 4 et 4 : égales. « À gauche de la virgule, les deux nombres valent 4. Cela ne me dit rien pour l'instant : il faut regarder plus loin. Mais je commence toujours par là, parce que si les parties entières étaient différentes, tout serait déjà réglé. »
2
Je compare les dixièmes. 1 et 1 : égaux. « Le premier chiffre après la virgule est le rang des dixièmes. Pour 4,107 c'est un 1, pour 4,17 c'est aussi un 1. Encore égaux : je continue. »
3
Je compare les centièmes. 0 contre 7. « Le rang suivant est celui des centièmes. Pour 4,107 c'est un 0 ; pour 4,17 c'est un 7. Et 7 est plus grand que 0 : c'est réglé. Je n'ai même pas besoin de regarder les millièmes — dès qu'un rang départage, on s'arrête. »
4
J'écris la comparaison. 4,107 < 4,17. « J'écris la comparaison en entier, avec le bon signe. La pointe du signe est du côté du plus petit nombre. »
5
Je vérifie en ajoutant des zéros. « Autre méthode : j'ajoute un zéro à droite de 4,17, ce qui ne change pas sa valeur. J'obtiens 4,107 et 4,170. Maintenant je peux comparer 107 et 170 comme deux nombres entiers : 107 est plus petit. Même conclusion, par un chemin différent. »

L'erreur à éviter : penser que 4,107 est plus grand parce qu'il a plus de chiffres. « Non. Avec des nombres entiers, plus de chiffres veut bien dire plus grand : 1 000 est plus grand que 999. Mais après la virgule, cette règle ne marche plus du tout — ce qui compte, c'est le RANG de chaque chiffre, pas leur nombre. »

Conclusion : 4,107 est plus PETIT que 4,17.

La méthode que je viens de dérouler

Chaque chiffre après la virgule a un rang : dixièmes, centièmes, millièmes.
Je compare d'abord les parties entières.
Si elles sont égales, je compare rang par rang, en partant des dixièmes.
Je peux ajouter des zéros à droite sans changer la valeur : 3,5 = 3,50 = 3,500.
Après la virgule, avoir plus de chiffres ne veut PAS dire être plus grand.

Ce que tu apprends ici n'est pas « cet exemple-là » : c'est la méthode, celle qui marchera sur les autres énoncés.

À toi maintenant : tu fais les mêmes gestes, mais cette fois je te guide étape par étape.

Quatre autres exemples, rédigés en entier

Ex 1 — La valeur d'un chiffre

Dans 4,107 : le 4 est aux unités et vaut 4 ; le 1 est aux dixièmes et vaut 0,1 ; le 0 est aux centièmes ; le 7 est aux millièmes et vaut 0,007. Ce n'est pas le chiffre qui donne la valeur, c'est sa place.

Ex 2 — Comparer deux prix

4,72 € et 4,68 € : les parties entières sont égales, alors on regarde les dixièmes, 7 contre 6. Donc 4,72 > 4,68. Un seul rang a suffi à trancher.

Ex 3 — L'astuce des zéros

0,305 et 0,3 : j'écris 0,3 = 0,300, puis je compare 305 et 300. Donc 0,305 > 0,3. Ajouter des zéros à droite ne change jamais la valeur d'un nombre décimal.

Ex 4 — Fractions décimales

3710 = 3,7 et 245100 = 2,45. Diviser par 10 déplace la virgule d'un rang vers la gauche, diviser par 100 de deux rangs.

Étape 06 / 08

Pratique guidée — nous le faisons ensemble

Mêmes gestes que dans le modelage, mais c'est toi qui tiens le stylo. Une étape à la fois : la suivante s'ouvre quand celle-ci est juste. L'indice apparaît si tu le demandes — et tout seul après deux essais ratés.

🗣️

Dis-le à voix haute. Nomme le rang de chaque chiffre : « un dixième, zéro centième, sept millièmes ». Un chiffre qu'on nomme est un chiffre qu'on ne confond plus.

Exo guidé 1 — la place décide de la valeur

On observe le nombre 4,107.

Étape 1 — Dans le nombre 4,107, quel chiffre est au rang des dixièmes ?

chiffre :

C'est le premier chiffre juste après la virgule.

Étape 2 — Et au rang des millièmes ?

chiffre :

C'est le troisième chiffre après la virgule.

Étape 3 — Combien vaut le chiffre 7 dans ce nombre ? (écris 0,007 ou 7/1000)

valeur :

Sept millièmes.

Rédaction attendue

Le 1 est au rang des dixièmes, le 0 aux centièmes, le 7 aux millièmes.

Le 7 vaut donc 0,007, c'est-à-dire sept millièmes — et non sept. ✔

Exo guidé 2 — comparer deux prix

Compare 4,72 et 4,68.

Étape 1 — On compare 4,72 et 4,68. Les parties entières sont-elles égales ? (oui ou non)

À gauche de la virgule, les deux valent 4.

Étape 2 — Quel est le chiffre des dixièmes de 4,72 ?

chiffre :

Le premier après la virgule.

Étape 3 — Écris le plus grand des deux nombres

le plus grand :

7 dixièmes valent plus que 6 dixièmes.

Rédaction attendue

Les parties entières sont égales. Aux dixièmes, 7 est plus grand que 6.

Donc 4,72 > 4,68. On s'arrête dès qu'un rang départage. ✔

Exo guidé 3 — l'astuce des zéros

Compare 0,305 et 0,3.

Étape 1 — Réécris 0,3 avec trois chiffres après la virgule

0,3 =

Ajouter des zéros à droite ne change pas la valeur.

Étape 2 — Maintenant compare 0,305 et 0,300 : écris le plus grand

le plus grand :

Compare 305 et 300 comme deux entiers.

Rédaction attendue

0,3 = 0,300, donc on compare 0,305 et 0,300 : 0,305 > 0,3.

Ajouter des zéros à droite met les deux nombres « au même format », et la comparaison devient aussi simple qu'entre deux entiers. ✔

Exo guidé 4 — des fractions aux virgules

Écris ces deux fractions décimales avec une virgule.

Étape 1 — Écris 37/10 en écriture décimale

37/10 =

Diviser par 10 déplace la virgule d'un rang vers la gauche.

Étape 2 — Écris 245/100 en écriture décimale

245/100 =

Diviser par 100 déplace la virgule de deux rangs.

Rédaction attendue

37/10 = 3,7 et 245/100 = 2,45.

Le dénominateur indique de combien de rangs la virgule se déplace : un rang pour 10, deux pour 100. ✔

Pratique autonome — à toi seul, sans aide

Plus d'étapes toutes prêtes. Si ta réponse est fausse, le site te dit où ça a coincé.

Exo 1

Lequel est le plus grand : 4,107 ou 4,17 ? Écris-le.

Ta réponse

Correction

Les parties entières sont égales (4 et 4), et les dixièmes aussi (1 et 1).

Aux centièmes : 0 pour 4,107, contre 7 pour 4,17. Donc 4,17 est le plus grand.

Autrement dit : 4,107 < 4,17, même si le premier a plus de chiffres. ✔

Exo 2

Quel est le chiffre des centièmes dans le nombre 12,458 ?

Ta réponse (un chiffre)

Correction

Après la virgule : 4 est aux dixièmes, 5 est aux centièmes, 8 est aux millièmes.

Le chiffre des centièmes est donc 5, et il vaut 0,05 dans ce nombre. ✔

Exo 3

Écris 3100 en écriture décimale.

Ta réponse

Correction

3/100 se lit « trois centièmes ». Le 3 se place donc au rang des centièmes, deuxième après la virgule.

On écrit 0,03, avec un zéro aux dixièmes pour tenir la place.

Ce zéro n'est pas décoratif : sans lui, on écrirait 0,3, qui vaut dix fois plus. ✔

Pour aller plus loin — à poser sur ton cahier

Ceux-là se tracent ou se rangent au crayon.

Exo 1 · facile · Représenter

Trace une droite graduée de 3 à 4, partagée en dixièmes, puis places-y 3,2 · 3,7 · 3,45.

Exo 2 · moyen · Raisonner

Range dans l'ordre croissant : 5,7 · 5,07 · 5,77 · 5,707. Deux de ces nombres sont-ils égaux ?

Exo 3 · défi · Chercher

Trouve trois nombres décimaux compris entre 2,5 et 2,6. Combien y en a-t-il en tout ?

Étape 07 / 08

Synthèse — À retenir

Un nombre décimal : virgule + partie entière + partie décimale.
Rangs : dixièmes (0,1), centièmes (0,01), millièmes (0,001).
Fraction décimale → écriture à virgule directe.
Comparer : aligner virgules, comparer rang par rang.
Arrondir : décideur ≥ 5 → on ajoute 1.

Carte mentale

Étape · Clôture

Reprends les critères du départ : lesquels sont tenus ?

Coche ce que tu sais faire maintenant

Je compare les parties entières, puis les rangs un par un.
Je sais que plus de chiffres ne veut pas dire plus grand.
J'ajoute des zéros à droite pour comparer plus facilement.
Je n'oublie jamais un zéro au milieu de la partie décimale.

S'il en reste un de décoché

Retourne à l'onglet Modelage : le contre-exemple explique pourquoi une règle vraie pour les entiers devient fausse après la virgule. C'est le piège le plus fréquent de toute la 6e.

La suite logique : multiplier et diviser ces nombres décimaux — où il faudra savoir exactement où placer la virgule du résultat.

Étape 08 / 08

Plan de révisions (Ebbinghaus)

Pour ancrer ce chapitre durablement, reviens-y à ces moments :

J+1 (demain)

Refais l'exo guidé 1 : nommer le rang de chaque chiffre.

J+7 (semaine prochaine)

Refais l'exo guidé 3 (l'astuce des zéros) et l'exo autonome 1.

J+30 (un mois)

Relis le modelage, puis refais l'exo autonome 3 : écrire 3/100.

Pour aller plus loin

Q1. Record du monde 100 m = 9,58 s. Arrondi au dixième de seconde, ce temps change-t-il ? À l'unité ? Que cela t'apprend-il sur la précision des mesures sportives ?

Q2. Peut-on intercaler infiniment de décimaux entre 0,1 et 0,2 ? Trouves-en au moins cinq. Que cela suggère-t-il ?

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