Translation · symétries · rotation · homothétie. Que conservent-elles ?
Rappel
Translation (vecteur)
Glisse une figure dans une direction donnée. Conserve longueurs, angles, aires.
Symétrie centrale (centre O)
Chaque point M devient M' tel que O est le milieu de [MM']. Équivaut à une rotation de 180° autour de O. Conserve longueurs, angles, aires. La figure « bascule ».
Symétrie axiale (axe d)
L'axe est la médiatrice du segment [MM']. Effet « miroir ». Conserve longueurs, angles, aires.
Rotation (centre O, angle α, sens)
Tourne chaque point autour de O d'un angle α (sens horaire ou trigonométrique). Conserve longueurs, angles, aires.
Homothétie (centre O, rapport k)
Multiplie les distances depuis O par |k|. Conserve les angles. Les longueurs sont multipliées par |k|, les aires par k².
Si k > 1 : agrandissement. Si 0 < k < 1 : réduction.
Si k < 0 : agrandissement/réduction + symétrie centrale (figure de l'autre côté de O).
Si k = 1 : aucune transformation. Si k = -1 : symétrie centrale pure.
Pièges fréquents
Aires homothétie : on multiplie par k² (et pas k). Une homothétie de rapport 3 multiplie les aires par 9.
k négatif : ça reste un agrandissement/réduction selon |k|, mais la figure passe de l'autre côté du centre.
Symétrie axiale ≠ centrale : la centrale fait basculer (180°), l'axiale fait un effet miroir.
La translation n'a pas de centre (juste un vecteur). La symétrie centrale et la rotation, oui.
Exemple résolu — homothétie et aire
Triangle d'aire 12 cm². Image par homothétie de centre O, rapport k = 3.
Aire image = aire × k² = 12 × 9 = 108 cm².
Exo guidé · 1 — homothétie & aire
Un rectangle a une aire de 8 cm². On lui applique une homothétie de rapport k = 2,5. Quelle est l'aire de l'image ?
Étape 1 — Coefficient pour l'aire (k²)
k² = 2,5² = ?
k² =
Étape 2 — Aire image
Aire image = aire × k² = 8 × 6,25 = ?
Aire =cm²
Résultat final
k² = 6,25, donc aire image = 8 × 6,25 = 50 cm²
Exo guidé · 2 — symétrie centrale et coordonnées
Dans un repère, A(3 ; 2) et O(0 ; 0). Calcule les coordonnées de A', image de A par la symétrie de centre O.
Étape 1 — Propriété : O est milieu de [AA']
Donc xA' = -xA et yA' = -yA. Ici xA' = ?
xA' =
Étape 2 — Coordonnée y
yA' =
Résultat final
A'(−3 ; −2)
À toi !
Exo · 1 — identifier la transformation
Une figure bascule en tournant de 180° autour d'un point O. Quelle transformation est-ce ?
Type de transformation
Correction
Symétrie centrale (= rotation de 180° autour de O).
Exo · 2 — homothétie : longueur
Un segment mesure 6 cm. On lui applique une homothétie de rapport k = -2. Quelle est la longueur de son image ?
Un triangle d'aire 5 cm² est agrandi par une homothétie de rapport 4. Aire de l'image ?
Aire image (en cm²)
Correction
Aire image = 5 × 4² = 5 × 16
= 80 cm²
Exo · 4 — symétrie centrale, coordonnées
Dans un repère, B(-4 ; 5). Donne les coordonnées de B', image de B par la symétrie de centre O(0 ; 0). Format : « x ; y ».
B'
Correction
xB' = −(−4) = 4 · yB' = −5
B'(4 ; −5)
Exo · 5 — choisir la bonne transformation
Une figure et son image ont la même forme et la même taille, mais sont l'une le miroir de l'autre par rapport à une droite. Quelle transformation est-ce ?
Type de transformation
Correction
Symétrie axiale (par rapport à la droite donnée).
DNB type — drapeau agrandi
Le drapeau de la mairie
Un drapeau rectangulaire mesure 60 cm × 90 cm (aire 5400 cm²). On en fabrique un nouveau, image du premier par une homothétie de rapport 1,5. Donne les nouvelles dimensions (largeur ; longueur en cm) puis l'aire (en cm²) du nouveau drapeau.