Complément · C4

Transformations du plan

Translation · symétries · rotation · homothétie. Que conservent-elles ?

📖 Rappel

Translation (vecteur)

Glisse une figure dans une direction donnée. Conserve longueurs, angles, aires.

Symétrie centrale (centre O)

Chaque point M devient M' tel que O est le milieu de [MM']. Équivaut à une rotation de 180° autour de O. Conserve longueurs, angles, aires. La figure « bascule ».

Symétrie axiale (axe d)

L'axe est la médiatrice du segment [MM']. Effet « miroir ». Conserve longueurs, angles, aires.

Rotation (centre O, angle α, sens)

Tourne chaque point autour de O d'un angle α (sens horaire ou trigonométrique). Conserve longueurs, angles, aires.

Homothétie (centre O, rapport k)

Multiplie les distances depuis O par |k|. Conserve les angles. Les longueurs sont multipliées par |k|, les aires par k².

Si k > 1 : agrandissement. Si 0 < k < 1 : réduction.
Si k < 0 : agrandissement/réduction + symétrie centrale (figure de l'autre côté de O).
Si k = 1 : aucune transformation. Si k = -1 : symétrie centrale pure.

⚠️ Pièges fréquents

Aires homothétie : on multiplie par k² (et pas k). Une homothétie de rapport 3 multiplie les aires par 9.
k négatif : ça reste un agrandissement/réduction selon |k|, mais la figure passe de l'autre côté du centre.
Symétrie axiale ≠ centrale : la centrale fait basculer (180°), l'axiale fait un effet miroir.
La translation n'a pas de centre (juste un vecteur). La symétrie centrale et la rotation, oui.

Exemple résolu — homothétie et aire

Triangle d'aire 12 cm². Image par homothétie de centre O, rapport k = 3.

Aire image = aire × k² = 12 × 9 = 108 cm².

Exo guidé · 1 — homothétie & aire

Un rectangle a une aire de 8 cm². On lui applique une homothétie de rapport k = 2,5. Quelle est l'aire de l'image ?

Étape 1 — Coefficient pour l'aire (k²)

k² = 2,5² = ?

k² =

Étape 2 — Aire image

Aire image = aire × k² = 8 × 6,25 = ?

Aire = cm²

Résultat final

k² = 6,25, donc aire image = 8 × 6,25 = 50 cm²

Exo guidé · 2 — symétrie centrale et coordonnées

Dans un repère, A(3 ; 2) et O(0 ; 0). Calcule les coordonnées de A', image de A par la symétrie de centre O.

Étape 1 — Propriété : O est milieu de [AA']

Donc x_A' = -x_A et y_A' = -y_A. Ici x_A' = ?

x_A' =

Étape 2 — Coordonnée y

y_A' =

Résultat final

A'(−3 ; −2)

À toi !

Exo · 1 — identifier la transformation

Une figure bascule en tournant de 180° autour d'un point O. Quelle transformation est-ce ?

Type de transformation

Correction

Symétrie centrale (= rotation de 180° autour de O).

Exo · 2 — homothétie : longueur

Un segment mesure 6 cm. On lui applique une homothétie de rapport k = -2. Quelle est la longueur de son image ?

Longueur image (en cm)

Correction

Longueur image = longueur × |k| = 6 × |-2| = 6 × 2

= 12 cm

Exo · 3 — aire après homothétie

Un triangle d'aire 5 cm² est agrandi par une homothétie de rapport 4. Aire de l'image ?

Aire image (en cm²)

Correction

Aire image = 5 × 4² = 5 × 16

= 80 cm²

Exo · 4 — symétrie centrale, coordonnées

Dans un repère, B(-4 ; 5). Donne les coordonnées de B', image de B par la symétrie de centre O(0 ; 0). Format : « x ; y ».

Correction

x_B' = −(−4) = 4 · y_B' = −5

B'(4 ; −5)

Exo · 5 — choisir la bonne transformation

Une figure et son image ont la même forme et la même taille, mais sont l'une le miroir de l'autre par rapport à une droite. Quelle transformation est-ce ?

Type de transformation

Correction

Symétrie axiale (par rapport à la droite donnée).

🎓 DNB type — drapeau agrandi

Le drapeau de la mairie

Un drapeau rectangulaire mesure 60 cm × 90 cm (aire 5400 cm²). On en fabrique un nouveau, image du premier par une homothétie de rapport 1,5. Donne les nouvelles dimensions (largeur ; longueur en cm) puis l'aire (en cm²) du nouveau drapeau.

Tape juste l'aire (en cm²) :

Correction

Largeur image = 60 × 1,5 = 90 cm.

Longueur image = 90 × 1,5 = 135 cm.

Aire = aire d'origine × k² = 5400 × 1,5² = 5400 × 2,25 = 12 150 cm².

Vérification : 90 × 135 = 12 150 cm² ✓