Complément · C6

Triangles semblables

Mêmes angles deux à deux égaux, longueurs proportionnelles. Rapport de similitude k.

📖 Rappel

Définition

Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs angles deux à deux égaux. Les longueurs des côtés homologues sont alors proportionnelles : il existe un nombre k (rapport de similitude) tel que chaque côté du grand vaut k fois son homologue dans le petit.

Les triangles ABC et DEF sont semblables (rapport k = 2).

Comment les reconnaître ?

Critère 1 — angles : il suffit que 2 angles soient égaux deux à deux (le 3ᵉ l'est automatiquement, car la somme vaut 180°).

Critère 2 — longueurs : les 3 longueurs sont proportionnelles (même rapport k pour tous les côtés homologues).

Notation officielle

On écrit ABC ~ DEF (« ABC est semblable à DEF »).

L'ordre des lettres donne les sommets homologues : A↔D, B↔E, C↔F. Donc : AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF.

Aire d'un triangle agrandi

Si le rapport des longueurs est k, alors le rapport des aires est k².

Ex : k = 2 → aire ×4. k = 3 → aire ×9. k = 0,5 → aire ×0,25.

⚠️ Piège — l'ordre des homologues

Si ABC ~ DEF, alors A correspond à D (pas E ni F). Ne mélange pas les lettres : AB se compare à DE, pas à EF.

Astuce : recopier les lettres dans l'ordre donné par l'énoncé avant de poser les rapports.

Exemple résolu

Les triangles ABC et DEF sont semblables. AB = 3 cm, DE = 6 cm, BC = 5 cm. Calcule EF.

Rapport k = DEAB = 63 = 2. Donc EF = k × BC = 2 × 5 = 10 cm.

Exo guidé · 1 — calcul de longueur

Les triangles ABC et DEF sont semblables (A↔D, B↔E, C↔F). AB = 4 cm, DE = 6 cm, BC = 5 cm. Calcule EF.

Étape 1 — Calculer le rapport k

k = DEAB = 64 = ?

k =

Étape 2 — Calculer EF (homologue de BC)

EF = k × BC = 1,5 × 5 = ?

EF = cm

Résultat final

k = 1,5 puis EF = 1,5 × 5 = 7,5 cm

Exo guidé · 2 — rapport puis aire

RST ~ UVW. RS = 5 cm, UV = 15 cm. L'aire de RST est 8 cm². Calcule l'aire de UVW.

Étape 1 — Rapport k des longueurs

k = UVRS = 155 = ?

k =

Étape 2 — Rapport des aires

Aire UVW = k² × Aire RST. Calcule k².

k² =

Étape 3 — Aire de UVW

Aire UVW = 9 × 8 = ?

Aire UVW = cm²

Résultat final

k = 3, k² = 9, Aire UVW = 72 cm²

À toi !

Calcule la valeur demandée. Réponse en nombre (décimal accepté avec virgule).

Exo · 1 — calcul direct

ABC ~ DEF. AB = 3 cm, DE = 12 cm, AC = 5 cm. Calcule DF.

DF (en cm)

Correction

AB = 3, DE = 12 → rapport k = 12/3 = 4.

DF = k × AC = 4 × 5

DF = 20 cm

Exo · 2 — rapport décimal

ABC ~ MNP. AB = 8, MN = 12, BC = 7. Calcule NP.

NP (en cm)

Correction

k = MN/AB = 12/8 = 1,5.

NP = k × BC = 1,5 × 7

NP = 10,5 cm

Exo · 3 — trouver le rapport k

Les triangles GHI et JKL sont semblables. GH = 6 cm et JK = 9 cm (côtés homologues). Quel est le rapport k de similitude (du petit vers le grand) ?

Rapport k

Correction

k = JKGH = 96

k = 1,5 (ou 3/2)

Exo · 4 — aire (k²)

Le triangle PQR a une aire de 18 cm². On l'agrandit avec un rapport k = 2,5 pour former le triangle STU. Quelle est l'aire de STU ?

Aire de STU (en cm²)

Correction

Rapport des aires = k² = 2,5² = 6,25.

Aire STU = 18 × 6,25

Aire STU = 112,5 cm²

Exo · 5 — angles homologues

ABC ~ DEF. L'angle Â = 75° et l'angle B̂ = 50°. Que vaut l'angle F̂ (en degrés) ?

Angle F̂ (en degrés)

Correction

Triangles semblables → angles homologues égaux. F̂ correspond à Ĉ.

Ĉ = 180 − 75 − 50 = 55°

F̂ = 55°

🎓 DNB type — triangles semblables et hauteur

Pour mesurer la hauteur d'un arbre

Léa veut mesurer la hauteur d'un arbre. Elle plante un piquet vertical PQ de 1,80 m. Le piquet projette une ombre de 1,20 m, et au même moment l'arbre AB projette une ombre de 8 m. Les deux triangles formés (piquet + ombre, arbre + ombre) sont semblables car le soleil donne le même angle. Calcule la hauteur AB de l'arbre.

Correction

Les deux triangles rectangles (piquet/ombre et arbre/ombre) sont semblables : ils ont un angle droit + le même angle solaire → 2 angles égaux.

Rapport k = 81,20 = 203.

AB = k × 1,80 = 203 × 1,80 = 363 = 12 m.