Exo 1 · Facile Calculer
Calcule ∫₀³ x dx puis ∫₁³ 2 dx.
Calculs d'aires (intégrale)
Terminale — option · Analyse · BO 2019 (Maths compl.)
Aire sous une courbe, lien intégrale–primitive, valeur moyenne et applications concrètes (distance, énergie).
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu calculer une aire sous une courbe avec une primitive : ∫ₐᵇ ƒ = F(b) − F(a) ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Dérivée des fonctions usuelles.
- Notion de primitive (F′ = ƒ).
- Lecture d'aire sur un graphique.
- Unités d'aire.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Aire sous une courbe
Pour ƒ positive et continue sur [a ; b], l'intégrale ∫ₐᵇ ƒ(x) dx mesure l'aire, en unités d'aire, entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
3.2 — Calcul par primitive
Si F est une primitive de ƒ, alors ∫ₐᵇ ƒ(x) dx = F(b) − F(a), noté [F(x)]ₐᵇ. C'est le lien fondamental entre aire et primitive.
3.3 — Valeur moyenne
La valeur moyenne de ƒ sur [a ; b] est μ = 1 ⁄ (b − a) × ∫ₐᵇ ƒ(x) dx. C'est la hauteur du rectangle de même aire : utile pour une vitesse moyenne, une puissance moyenne.
3.4 — Applications concrètes
L'aire sous une courbe a un sens physique : aire sous une vitesse = distance parcourue ; aire sous une puissance = énergie ; aire sous un débit = volume.
Erreur classique
[F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a) (et non l'inverse). Si ƒ devient négative, l'intégrale n'est plus l'aire : la partie sous l'axe compte négativement.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Polynôme
∫₀² x dx = [x² ⁄ 2]₀² = 2 − 0 = 2 unités d'aire.
Ex 2 — Avec primitive
∫₀¹ x² dx = [x³ ⁄ 3]₀¹ = 1 ⁄ 3.
Ex 3 — Distance
Vitesse v(t) = 2t (m/s). Distance sur [0 ; 5] : ∫₀⁵ 2t dt = [t²]₀⁵ = 25 m.
Ex 4 — Valeur moyenne
Valeur moyenne de v(t) = 2t sur [0 ; 5] : μ = 1 ⁄ 5 × 25 = 5 m/s.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Calcule ∫₀² x² dx.
Exo 3 · Moyen Calculer
Calcule ∫₀¹ (3x² + 1) dx.
Exo 4 · Moyen Modéliser
Une vitesse v(t) = 3t² (m/s). Quelle distance entre t = 0 et t = 4 s ?
Exo 5 · Moyen Calculer
Calcule la valeur moyenne de ƒ(x) = x² sur [0 ; 3].
Exo 6 · Moyen Représenter
Une puissance P(t) = 100 − 10t (W) pour 0 ≤ t ≤ 10. Calcule l'énergie ∫₀¹⁰ P(t) dt (en J).
Exo 7 · Défi Modéliser
Un débit d'eau d(t) = 6 − t (L/min) pour 0 ≤ t ≤ 6. Quel volume total s'écoule ?
Exo 8 · Défi Communiquer
Explique pourquoi l'aire sous la courbe de la vitesse représente la distance parcourue.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- ∫ₐᵇ ƒ = aire sous la courbe si ƒ ≥ 0.
- ∫ₐᵇ ƒ(x) dx = F(b) − F(a) (F primitive de ƒ).
- Valeur moyenne : μ = 1 ⁄ (b − a) × ∫ₐᵇ ƒ.
- Sens physique : aire sous vitesse = distance, sous puissance = énergie.
- Ordre F(b) − F(a), attention au signe de ƒ.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 5.
J+30
Exos 6 et 7.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi le calcul d'aire se ramène-t-il à une différence de primitives ?
Q2. Que représente concrètement la valeur moyenne d'une vitesse ?