Exo 1 · Facile Calculer
Un ajustement donne y = 2,5x + 3. Calcule y pour x = 4 et x = 12.
Corrélation et causalité
Terminale — option · Statistiques et probabilités · BO 2019 (Maths compl.)
Nuage de points, ajustement affine, coefficient de corrélation et distinction entre corrélation et causalité.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu ajuster un nuage par une droite et expliquer pourquoi corrélation n'est pas causalité ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Fonctions affines (y = ax + b).
- Lecture d'un nuage de points.
- Moyenne d'une série statistique.
- Calcul avec une calculatrice (régression).
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Nuage de points et ajustement
Une série à deux variables (x ; y) se représente par un nuage de points. Si les points sont presque alignés, on cherche une droite d'ajustement affine y = ax + b qui résume la tendance.
3.2 — Droite des moindres carrés
La droite de régression (méthode des moindres carrés) minimise la somme des carrés des écarts verticaux. La calculatrice la donne directement. Elle passe par le point moyen (x̄ ; ȳ).
3.3 — Coefficient de corrélation
Le coefficient r mesure la qualité de l'alignement : r entre −1 et 1. |r| proche de 1 ⟹ points bien alignés ; r proche de 0 ⟹ pas de lien linéaire. Le signe donne le sens (croissant ou décroissant).
3.4 — Corrélation ≠ causalité
Deux grandeurs corrélées ne sont pas forcément liées par une cause. Il peut exister une variable cachée (facteur commun) ou une simple coïncidence. La statistique constate un lien, elle ne le prouve pas.
Erreur classique
« Les ventes de glaces et les noyades augmentent ensemble, donc les glaces causent les noyades » : faux. La chaleur est la variable cachée. Corrélation forte ≠ relation de cause à effet.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Ajustement
La calculatrice donne y = 1,8x + 5. Pour x = 10 : y ≈ 1,8 × 10 + 5 = 23.
Ex 2 — Corrélation
r = 0,98 : les points sont très bien alignés, l'ajustement affine est pertinent.
Ex 3 — Faible lien
r = 0,12 : presque aucun lien linéaire, l'ajustement affine n'a pas de sens.
Ex 4 — Variable cachée
Taille du vocabulaire et pointure d'enfants sont corrélées… à cause de l'âge (facteur commun).
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Représenter
Pour r = −0,95, décris l'allure du nuage de points.
Exo 3 · Moyen Modéliser
Le chiffre d'affaires suit y = 0,8x + 12 (x = budget pub, en milliers €). Estime le CA pour un budget de 20 000 €.
Exo 4 · Moyen Raisonner
Deux séries ont r = 0,1. Un ajustement affine est-il justifié ? Pourquoi ?
Exo 5 · Moyen Représenter
À la calculatrice, on obtient y = 1,2x − 4 et r = 0,97. Interprète la pente et la qualité.
Exo 6 · Moyen Raisonner
Donne un exemple de ta vie quotidienne de deux grandeurs corrélées sans lien de cause à effet.
Exo 7 · Défi Modéliser
On relève (x ; y) : (1;3), (2;5), (3;6), (4;9). Trace le nuage, propose une droite et estime y pour x = 6.
Exo 8 · Défi Communiquer
Un titre annonce « plus on dort, plus on est riche : dormez pour gagner ! ». Critique ce raisonnement.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Nuage de points ⟶ ajustement affine y = ax + b.
- Droite des moindres carrés, passe par (x̄ ; ȳ).
- Coefficient r entre −1 et 1 mesure l'alignement.
- |r| proche de 1 = forte corrélation linéaire.
- Corrélation ≠ causalité : attention aux variables cachées.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Que mesure exactement le coefficient de corrélation ?
Q2. Pourquoi une forte corrélation ne prouve-t-elle pas un lien de cause à effet ?