Exo 1 · Facile Calculer
P(A) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,2. Calcule P_A(B).
Inférence bayésienne
Terminale — option · Probabilités et statistiques · BO 2019 (Maths compl.)
Probabilités conditionnelles, arbres pondérés, probabilités totales et formule de Bayes appliquée aux tests de dépistage.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu « renverser » un arbre pour calculer P(malade sachant test positif) ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Probabilités conditionnelles (Première).
- Arbre pondéré et loi des nœuds.
- Événements et événement contraire.
- Formule des probabilités totales.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Probabilité conditionnelle
P_A(B) est la probabilité de B sachant A : P_A(B) = P(A ∩ B) ⁄ P(A). Sur un arbre, on multiplie les probabilités le long d'une branche : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
3.2 — Probabilités totales
Si A et son contraire A̅ partitionnent l'univers : P(B) = P(A ∩ B) + P(A̅ ∩ B) = P(A) P_A(B) + P(A̅) P_A̅(B). On somme toutes les branches menant à B.
3.3 — Formule de Bayes
Pour « renverser » l'arbre : P_B(A) = P(A) × P_A(B) ⁄ P(B). On passe de P_A(B) (donné) à P_B(A) (cherché). C'est le cœur de l'inférence bayésienne.
3.4 — Tests de dépistage
Avec sensibilité et spécificité, on calcule la valeur prédictive P(malade | test +). Quand la maladie est rare, cette probabilité peut être faible même avec un bon test : c'est contre-intuitif.
Erreur classique
P_A(B) ≠ P_B(A). « Test positif sachant malade » n'est pas « malade sachant test positif ». Confondre les deux fausse complètement l'interprétation d'un dépistage.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Conditionnelle
P(A) = 0,3 et P(A ∩ B) = 0,12 : P_A(B) = 0,12 ⁄ 0,3 = 0,4.
Ex 2 — Proba totale
P(A) = 0,2 ; P_A(B) = 0,9 ; P_A̅(B) = 0,1 : P(B) = 0,2 × 0,9 + 0,8 × 0,1 = 0,26.
Ex 3 — Bayes
Avec les valeurs ci-dessus : P_B(A) = 0,2 × 0,9 ⁄ 0,26 = 0,18 ⁄ 0,26 ≈ 0,69.
Ex 4 — Test rare
Maladie touchant 1 %, test fiable à 99 % : P(malade | +) ≈ 0,5 seulement, car les faux positifs sont nombreux.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Représenter
Construis un arbre : P(A) = 0,4 ; P_A(B) = 0,7 ; P_A̅(B) = 0,2.
Exo 3 · Moyen Calculer
Avec l'exercice 2, calcule P(B) par les probabilités totales.
Exo 4 · Moyen Calculer
Toujours avec l'exercice 2, calcule P_B(A) avec la formule de Bayes.
Exo 5 · Moyen Modéliser
Un test détecte 95 % des malades et donne 4 % de faux positifs. La maladie touche 2 %. Calcule P(test +).
Exo 6 · Moyen Calculer
Avec l'exercice 5, calcule la probabilité d'être malade sachant le test positif.
Exo 7 · Défi Raisonner
Deux usines fournissent 60 % et 40 % des pièces, avec 2 % et 5 % de défauts. Une pièce est défectueuse : de quelle usine vient-elle le plus probablement ?
Exo 8 · Défi Communiquer
Un patient au test positif panique. Explique-lui, chiffres à l'appui, pourquoi il n'est pas forcément malade.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- P_A(B) = P(A ∩ B) ⁄ P(A) ; sur un arbre, on multiplie.
- Probabilités totales : P(B) = somme des branches vers B.
- Bayes : P_B(A) = P(A) P_A(B) ⁄ P(B).
- P_A(B) ≠ P_B(A).
- Maladie rare ⟹ valeur prédictive faible malgré un bon test.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 6 et 7.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi la formule de Bayes permet-elle de « renverser » un arbre ?
Q2. Pourquoi un test très fiable peut-il donner une valeur prédictive faible si la maladie est rare ?