Exo 1 · Facile Calculer
Calcule : a) log 10 · b) log 1 000 000 · c) log 0,1.
Approche historique de la fonction logarithme
Terminale — option · Analyse · BO 2019 (Maths compl.)
Origine et rôle du logarithme, propriétés algébriques, et échelles logarithmiques (pH, décibels, Richter).
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu pourquoi une échelle (séisme, son) « compresse » de très grandes valeurs avec un logarithme ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Puissances et notation scientifique.
- Fonction exponentielle (Première).
- Résolution d'équations.
- Lecture d'un graphique.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Pourquoi le logarithme ?
Historiquement (Napier, XVIIᵉ s.), le logarithme a été inventé pour transformer les produits en sommes et simplifier les longs calculs : ln(ab) = ln a + ln b. Il « range » les grands nombres sur une échelle plus lisible.
3.2 — Définition et propriétés
ln est défini sur ]0 ; +∞[, réciproque de exp : ln x = y ⟺ x = eʸ. ln 1 = 0, ln e = 1. Propriétés : ln(ab) = ln a + ln b · ln(a ⁄ b) = ln a − ln b · ln(aⁿ) = n ln a.
3.3 — Logarithme décimal
Le logarithme décimal log vérifie log(10ⁿ) = n : log 1000 = 3, log 0,01 = −2. On a log x = ln x ⁄ ln 10. C'est lui qu'utilisent les échelles scientifiques.
3.4 — Échelles logarithmiques
pH = −log[H⁺], magnitude Richter, décibels : passer d'un cran à l'autre multiplie la grandeur (×10). Une échelle log compresse plusieurs ordres de grandeur sur un axe court.
Erreur classique
+1 sur une échelle log = ×10, pas +10. Un séisme de magnitude 6 libère ≈ 10 fois plus d'énergie qu'un 5 (et bien plus en énergie sismique réelle).
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Produit en somme
ln(35) = ln(5 × 7) = ln 5 + ln 7.
Ex 2 — Log décimal
log 100 000 = log 10⁵ = 5. log 0,001 = −3.
Ex 3 — pH
Une solution avec [H⁺] = 10⁻⁴ : pH = −log(10⁻⁴) = 4 (acide).
Ex 4 — Échelle
Un son passe de 60 à 70 dB : l'intensité est multipliée par 10.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Écris en somme : a) ln(6) · b) ln(15) · c) ln(8) en fonction de ln 2.
Exo 3 · Moyen Modéliser
Le pH d'une solution est 3. Quelle est sa concentration [H⁺] = 10⁻ᵖᴴ ?
Exo 4 · Moyen Raisonner
Deux séismes ont des magnitudes 5 et 7. Combien de fois l'amplitude est-elle plus grande ?
Exo 5 · Moyen Calculer
Résous log x = 4 puis ln x = 2.
Exo 6 · Moyen Représenter
Sur un axe logarithmique, place 1, 10, 100, 1000 : que remarques-tu sur les espacements ?
Exo 7 · Défi Modéliser
Un bruit de fond est 40 dB. Un concert atteint 100 dB. Par quel facteur l'intensité sonore a-t-elle été multipliée ?
Exo 8 · Défi Communiquer
Un journaliste écrit « un séisme de 8 est deux fois plus fort qu'un 4 ». Explique pourquoi c'est faux.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Le log transforme produits en sommes : ln(ab) = ln a + ln b.
- ln réciproque de exp ; ln 1 = 0, ln e = 1.
- Log décimal : log(10ⁿ) = n ; log x = ln x ⁄ ln 10.
- Échelle log : +1 cran = ×10.
- Sert à comprimer plusieurs ordres de grandeur (pH, dB, Richter).
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi le logarithme était-il utile avant les calculatrices ?
Q2. Pourquoi utilise-t-on une échelle logarithmique pour les séismes ou le son ?