Exo 1 · Facile Calculer
u₀ = 100, uₙ₊₁ = 0,8 uₙ + 40. Calcule u₁, u₂, u₃.
Modèles d'évolution (suites et récurrence)
Terminale — option · Analyse · BO 2019 (Maths compl.)
Suites définies par récurrence, modèles d'évolution discrets, comportement à long terme et recherche de seuils.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu calculer les termes d'une suite définie par uₙ₊₁ = 0,8 uₙ + 50 et prévoir son évolution ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Suites arithmétiques et géométriques (Première).
- Pourcentages d'évolution (hausse, baisse).
- Notation uₙ, indice, premier terme.
- Résolution d'inéquations avec ln (seuils).
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Suite et récurrence
Un modèle d'évolution discret donne l'état suivant à partir de l'état actuel : uₙ₊₁ = ƒ(uₙ). On calcule les termes de proche en proche à partir de u₀. Exemple : population, stock, dette.
3.2 — Évolution en pourcentage
Une hausse de t % se traduit par × (1 + t ⁄ 100), une baisse par × (1 − t ⁄ 100). Une évolution à taux constant donne une suite géométrique de raison q : uₙ = u₀ × qⁿ.
3.3 — Comportement à long terme
On observe si la suite croît, décroît, se stabilise ou oscille. Pour une suite uₙ₊₁ = a uₙ + b avec 0 < a < 1, elle tend vers une limite ℓ vérifiant ℓ = a ℓ + b (point d'équilibre).
3.4 — Recherche de seuil
« À partir de quel rang uₙ dépasse-t-il une valeur ? » : on résout l'inéquation (souvent avec ln pour une suite géométrique) ou on utilise un algorithme qui incrémente n tant que la condition n'est pas atteinte.
Erreur classique
« Baisser de 20 % puis hausser de 20 % » ne revient pas à l'état initial : × 0,8 × 1,2 = 0,96, soit −4 %. Les pourcentages ne s'additionnent pas.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — De proche en proche
u₀ = 200, uₙ₊₁ = 0,9 uₙ + 30. u₁ = 0,9 × 200 + 30 = 210 ; u₂ = 0,9 × 210 + 30 = 219.
Ex 2 — Limite
Pour uₙ₊₁ = 0,9 uₙ + 30, la limite ℓ vérifie ℓ = 0,9 ℓ + 30 ⟹ 0,1 ℓ = 30 ⟹ ℓ = 300.
Ex 3 — Géométrique
Une ville perd 3 % d'habitants par an : Pₙ = P₀ × 0,97ⁿ. En 10 ans : × 0,97¹⁰ ≈ 0,737, soit −26 %.
Ex 4 — Seuil
Un capital 1000 × 1,05ⁿ dépasse 1500 quand 1,05ⁿ > 1,5 ⟹ n > ln 1,5 ⁄ ln 1,05 ≈ 8,3, donc dès n = 9.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Modéliser
Un loyer augmente de 2 % par an. Exprime Lₙ en fonction de L₀ = 600 €.
Exo 3 · Moyen Calculer
Pour uₙ₊₁ = 0,7 uₙ + 60, détermine la limite ℓ de la suite.
Exo 4 · Moyen Raisonner
Une baisse de 10 % suivie d'une hausse de 10 % : quel pourcentage global ? Justifie.
Exo 5 · Moyen Calculer
Un capital de 2000 € à 4 % par an. À partir de quelle année dépasse-t-il 3000 € ?
Exo 6 · Moyen Représenter
Une population de poissons suit Pₙ₊₁ = 1,1 Pₙ − 500 avec P₀ = 8000. Calcule P₁, P₂ et décris l'évolution.
Exo 7 · Défi Modéliser
Un médicament : 30 % éliminé par jour, 20 mg pris chaque matin. Modélise la quantité par une suite et donne sa limite.
Exo 8 · Défi Communiquer
Un commerçant annonce « −50 % puis −50 %, donc gratuit ». Explique l'erreur et donne la vraie réduction.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Modèle discret : uₙ₊₁ = ƒ(uₙ), calcul de proche en proche.
- Hausse t % : × (1 + t ⁄ 100) ; baisse : × (1 − t ⁄ 100).
- Taux constant ⟹ suite géométrique uₙ = u₀ qⁿ.
- uₙ₊₁ = a uₙ + b (0 < a < 1) ⟶ limite ℓ = a ℓ + b.
- Seuil : inéquation avec ln ou algorithme.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi une suite uₙ₊₁ = a uₙ + b se stabilise-t-elle quand 0 < a < 1 ?
Q2. Pourquoi des pourcentages d'évolution ne s'additionnent-ils pas ?