Exo 1 · Facile Calculer
Soit ƒ(x) = x² − 8x + 3. Calcule ƒ′(x) et résous ƒ′(x) = 0.
Modèles définis par une fonction d'une variable
Terminale — option · Analyse · BO 2019 (Maths compl.)
Modéliser une situation concrète par une fonction, étudier ses variations et optimiser une grandeur.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu utiliser la dérivée pour trouver le maximum d'un bénéfice modélisé par une fonction ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Dérivée d'une fonction (Première).
- Signe de la dérivée et variations.
- Lecture graphique d'un extremum.
- Résolution d'équations et d'inéquations.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Modéliser par une fonction
Une situation (coût, bénéfice, hauteur, concentration…) qui dépend d'une seule grandeur x se décrit par une fonction ƒ. Préciser l'ensemble de définition impose les contraintes réelles : par exemple un nombre d'objets x ≥ 0.
3.2 — Variations et signe de ƒ′
On dérive ƒ, on étudie le signe de ƒ′(x) : ƒ′ > 0 ⟹ ƒ croissante (↗), ƒ′ < 0 ⟹ ƒ décroissante (↘). On dresse le tableau de variations.
3.3 — Optimiser
Un extremum (max ou min) est atteint là où ƒ′ s'annule en changeant de signe. Pour maximiser un bénéfice : résoudre ƒ′(x) = 0, vérifier le changement de signe, puis calculer ƒ à cette valeur.
3.4 — Interpréter dans le contexte
Toujours revenir à la situation : « le bénéfice est maximal pour 40 objets et vaut 320 € ». Vérifier que la valeur trouvée appartient bien à l'ensemble de définition.
Erreur classique
ƒ′(x) = 0 ne suffit pas : il faut le changement de signe. Et ne pas oublier de vérifier les bornes de l'intervalle, où l'extremum peut aussi se trouver.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Bénéfice
B(x) = −x² + 60x − 500 (en €, x objets). B′(x) = −2x + 60 = 0 ⟹ x = 30. B(30) = 400 € : bénéfice maximal pour 30 objets.
Ex 2 — Variations
B′ > 0 pour x < 30, B′ < 0 pour x > 30 : B croît puis décroît, le maximum est bien en 30.
Ex 3 — Domaine
Si on produit au plus 50 objets, on étudie B sur [0 ; 50] ; le maximum reste en 30 (intérieur).
Ex 4 — Seuil de rentabilité
B(x) > 0 ⟺ −x² + 60x − 500 > 0 ⟺ 10 < x < 50 : l'entreprise est rentable entre 10 et 50 objets.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Représenter
Pour ƒ(x) = −x² + 10x, dresse le tableau de variations sur [0 ; 10].
Exo 3 · Moyen Modéliser
Un coût est C(x) = x² − 20x + 150 (€). Pour quelle production le coût est-il minimal ? Quel est ce coût ?
Exo 4 · Moyen Calculer
ƒ(x) = x³ − 3x sur [−2 ; 2]. Étudie ses variations et donne ses extremums.
Exo 5 · Moyen Modéliser
Une boîte sans couvercle a un volume V(x) = x(20 − 2x)² (x en cm). Pour quel x le volume est-il maximal sur [0 ; 10] ?
Exo 6 · Moyen Raisonner
Le bénéfice est B(x) = −2x² + 80x − 200. Détermine l'intervalle où l'entreprise est rentable.
Exo 7 · Défi Modéliser
La concentration d'un médicament est c(t) = 5t e⁻ᵗ (mg/L, t en heures). À quel instant la concentration est-elle maximale ?
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève conclut « le maximum est en x = 4 car ƒ′(4) = 0 », sans étudier le signe. Explique pourquoi son raisonnement est incomplet.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Modéliser = associer une fonction ƒ à la situation, avec son domaine.
- Signe de ƒ′ ⟶ variations (↗ si ƒ′ > 0, ↘ si ƒ′ < 0).
- Extremum : ƒ′ s'annule en changeant de signe.
- Optimiser = trouver max/min puis interpréter dans le contexte.
- Vérifier domaine et bornes.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi le signe de la dérivée suffit-il à localiser un extremum ?
Q2. Comment relier le seuil de rentabilité au signe de la fonction bénéfice ?