Exo 1 · Facile Raisonner
On lance 6 fois un dé, succès = « obtenir un 6 ». Donne n et p de la loi de X.
Répétition d'expériences et échantillonnage
Terminale — option · Probabilités et statistiques · BO 2019 (Maths compl.)
Schéma de Bernoulli, loi binomiale, fluctuation d'échantillonnage et prise de décision.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu calculer P(X = k) avec une loi binomiale et juger si un échantillon est « surprenant » ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Probabilités, événements indépendants.
- Coefficients binomiaux C(n , k).
- Loi binomiale (Terminale).
- Notion de fréquence et de proportion.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Schéma de Bernoulli
On répète n fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité p). X = nombre de succès suit la loi binomiale B(n ; p).
3.2 — Calcul des probabilités
P(X = k) = C(n , k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Espérance E(X) = np. La calculatrice donne P(X = k) et P(X ≤ k).
3.3 — Fluctuation d'échantillonnage
Pour une même proportion p, la fréquence observée varie d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation. Plus n est grand, moins la fréquence fluctue autour de p.
3.4 — Prise de décision
On détermine un intervalle de fluctuation contenant ≈ 95 % des fréquences possibles. Si la fréquence observée tombe hors de cet intervalle, on doute de l'hypothèse sur p.
Erreur classique
Une fréquence un peu différente de p n'est pas une preuve : la fluctuation est normale. On ne rejette l'hypothèse que si l'écart est trop grand (hors intervalle).
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Loi binomiale
X ∼ B(5 ; 0,3) : P(X = 2) = C(5 , 2) × 0,3² × 0,7³ = 10 × 0,09 × 0,343 ≈ 0,309.
Ex 2 — Espérance
Sur 200 lancers d'une pièce, on attend en moyenne E(X) = 200 × 0,5 = 100 piles.
Ex 3 — Fluctuation
Avec n = 100 et p = 0,5, presque toutes les fréquences observées sont entre 0,40 et 0,60.
Ex 4 — Décision
Si sur 100 lancers on obtient 72 piles (f = 0,72, hors [0,40 ; 0,60]), on soupçonne une pièce truquée.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
X ∼ B(4 ; 0,5). Calcule P(X = 2).
Exo 3 · Moyen Calculer
X ∼ B(10 ; 0,2). Calcule P(X = 3) et E(X).
Exo 4 · Moyen Calculer
X ∼ B(20 ; 0,5). Calcule P(X ≥ 1) (passe par le contraire).
Exo 5 · Moyen Modéliser
Un fabricant annonce 90 % de pièces conformes. Sur 50 pièces, combien en attend-on de conformes en moyenne ?
Exo 6 · Moyen Raisonner
Sur 100 tirages avec p = 0,3, l'intervalle de fluctuation est environ [0,21 ; 0,39]. Une fréquence de 0,45 est-elle surprenante ?
Exo 7 · Défi Modéliser
Un sondage donne 58 % de oui sur 200 personnes alors qu'on annonçait 50 %. Cet écart suffit-il à conclure ? (intervalle ≈ [0,43 ; 0,57])
Exo 8 · Défi Communiquer
Explique pourquoi un grand échantillon donne une fréquence plus « fiable » qu'un petit.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Répétition indépendante ⟹ loi binomiale B(n ; p).
- P(X = k) = C(n , k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ ; E(X) = np.
- La fréquence observée fluctue autour de p.
- Grand n ⟹ moins de fluctuation.
- Fréquence hors intervalle ⟹ on doute de l'hypothèse.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 6 et 7.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi répéter une expérience donne-t-il une loi binomiale ?
Q2. Comment décide-t-on qu'un échantillon contredit une hypothèse ?