Exo 1 · Facile Représenter
On lit L(0,4) = 0,15. Interprète ce point en une phrase.
Répartition des richesses et inégalités
Terminale — option · Statistiques et probabilités · BO 2019 (Maths compl.)
Courbe de Lorenz, indice de Gini et mesure des inégalités à l'aide de l'aire sous une courbe.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu lire une courbe de Lorenz et dire si une société est plus ou moins inégalitaire ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Fréquences cumulées et pourcentages.
- Lecture graphique et aire d'un domaine.
- Intégrale d'une fonction positive.
- Proportions et parts.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Courbe de Lorenz
On classe la population des plus pauvres aux plus riches. La courbe de Lorenz L(x) donne la part cumulée des revenus détenue par les x % les plus pauvres. Elle passe par (0 ; 0) et (1 ; 1).
3.2 — Égalité parfaite
Si chacun a la même part, la courbe est la diagonale y = x (les 20 % les plus pauvres ont 20 % des revenus). Plus la courbe s'éloigne de la diagonale, plus la société est inégalitaire.
3.3 — Indice de Gini
L'indice de Gini G = 2 × aire entre la diagonale et la courbe de Lorenz. G est compris entre 0 (égalité parfaite) et 1 (inégalité totale). On le calcule avec une intégrale : G = 2 ∫₀¹ (x − L(x)) dx.
3.4 — Interpréter
Un Gini de 0,3 traduit des inégalités modérées, 0,5 de fortes inégalités. C'est un indicateur synthétique qui résume toute la courbe par un seul nombre.
Erreur classique
Le Gini mesure les inégalités relatives, pas la richesse : deux pays au même Gini peuvent avoir des niveaux de vie très différents. Et G proche de 0 = peu d'inégalités, pas « pauvreté ».
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Lecture
Si L(0,5) = 0,2, alors les 50 % les plus pauvres détiennent 20 % des revenus.
Ex 2 — Égalité
Si L(x) = x pour tout x, le Gini vaut 0 : répartition parfaitement égale.
Ex 3 — Gini par intégrale
Pour L(x) = x², G = 2 ∫₀¹ (x − x²) dx = 2 [x² ⁄ 2 − x³ ⁄ 3]₀¹ = 2 (1 ⁄ 2 − 1 ⁄ 3) = 1 ⁄ 3.
Ex 4 — Comparaison
Pays A : G = 0,25 ; pays B : G = 0,45. Le pays B est plus inégalitaire.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Raisonner
Que vaut le Gini d'une société parfaitement égalitaire ? Justifie.
Exo 3 · Moyen Calculer
Pour L(x) = x³, calcule G = 2 ∫₀¹ (x − x³) dx.
Exo 4 · Moyen Calculer
Pour L(x) = (x² + x) ⁄ 2, calcule l'indice de Gini.
Exo 5 · Moyen Représenter
Trace l'allure de deux courbes de Lorenz, l'une pour G = 0,2, l'autre pour G = 0,6.
Exo 6 · Moyen Raisonner
La courbe de Lorenz d'un pays se rapproche de la diagonale sur 20 ans. Les inégalités augmentent-elles ou diminuent-elles ?
Exo 7 · Défi Modéliser
Dans une classe, les 4 élèves se partagent 100 € ainsi : 10, 20, 30, 40. Construis les parts cumulées et estime le Gini.
Exo 8 · Défi Communiquer
Un article dit « le Gini a baissé, donc le pays s'est appauvri ». Explique pourquoi c'est une confusion.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Courbe de Lorenz L(x) : part des revenus des x % les plus pauvres.
- Diagonale y = x = égalité parfaite.
- Gini G = 2 ∫₀¹ (x − L(x)) dx, entre 0 et 1.
- G grand = fortes inégalités.
- Le Gini mesure les inégalités relatives, pas le niveau de richesse.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi l'aire entre la diagonale et la courbe de Lorenz mesure-t-elle l'inégalité ?
Q2. Pourquoi deux pays au même Gini peuvent-ils avoir des niveaux de vie différents ?