Exo 1 · Facile Calculer
Une loterie a 1 chance sur 20 de gagner. Combien de tickets en moyenne avant le premier gain ?
Temps d'attente
Terminale — option · Probabilités et statistiques · BO 2019 (Maths compl.)
Loi géométrique (attente discrète), loi exponentielle (attente continue) et absence de mémoire.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu modéliser « combien de temps avant la prochaine panne » avec une loi exponentielle ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Probabilités, événement contraire.
- Suites géométriques (raison q).
- Fonction exponentielle et e⁻ᵏˣ.
- Intégrale d'une fonction positive.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Attente discrète : loi géométrique
On répète une épreuve de succès p jusqu'au premier succès. X = rang du premier succès suit la loi géométrique : P(X = k) = (1 − p)ᵏ⁻¹ p. Espérance E(X) = 1 ⁄ p.
3.2 — Attente continue : loi exponentielle
Pour une durée d'attente continue (panne, désintégration), on utilise la loi exponentielle de paramètre λ > 0, de densité ƒ(t) = λ e⁻λᵗ sur [0 ; +∞[. Espérance E(T) = 1 ⁄ λ.
3.3 — Calcul de probabilités
P(T ≤ a) = 1 − e⁻λᵃ et P(T > a) = e⁻λᵃ. La probabilité d'attendre au-delà d'une durée décroît exponentiellement.
3.4 — Absence de mémoire
La loi exponentielle est sans mémoire : sachant T > s, la probabilité que T > s + t reste égale à P(T > t). « Avoir déjà attendu » ne change pas la durée d'attente restante — typique d'un composant qui ne vieillit pas.
Erreur classique
L'absence de mémoire est contre-intuitive : un appareil exponentiel « déjà ancien » n'a pas plus de risque de tomber en panne dans l'heure qu'un neuf. À ne pas confondre avec l'usure réelle.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Géométrique
Lancer un dé jusqu'au premier 6 (p = 1 ⁄ 6) : E(X) = 1 ⁄ (1 ⁄ 6) = 6 lancers en moyenne.
Ex 2 — P(X = k)
P(X = 3) = (5 ⁄ 6)² × (1 ⁄ 6) ≈ 0,116.
Ex 3 — Exponentielle
Durée de vie T ∼ exp(0,1) (en années) : P(T ≤ 5) = 1 − e⁻⁰·⁵ ≈ 0,393.
Ex 4 — Espérance
Pour λ = 0,1, l'espérance de vie est E(T) = 1 ⁄ 0,1 = 10 ans.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
X géométrique avec p = 0,25. Calcule P(X = 1) et P(X = 2).
Exo 3 · Moyen Calculer
T ∼ exp(0,2). Calcule P(T ≤ 4) puis P(T > 4).
Exo 4 · Moyen Calculer
Une ampoule a une durée de vie T ∼ exp(0,05) (en mois). Calcule son espérance de vie.
Exo 5 · Moyen Modéliser
Le temps entre deux appels dans un centre suit exp(0,5) (par minute). Probabilité d'attendre plus de 3 minutes ?
Exo 6 · Moyen Calculer
T ∼ exp(0,1). Vérifie sur un exemple que, sachant T > 5, la probabilité que T > 8 égale P(T > 3).
Exo 7 · Défi Modéliser
Un composant a une durée de vie exp(λ) d'espérance 2000 h. Détermine λ, puis la probabilité qu'il dépasse 3000 h.
Exo 8 · Défi Communiquer
Explique l'absence de mémoire de la loi exponentielle avec l'exemple d'un guichet.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Attente discrète : loi géométrique, P(X = k) = (1 − p)ᵏ⁻¹ p, E(X) = 1 ⁄ p.
- Attente continue : loi exponentielle, densité λ e⁻λᵗ, E(T) = 1 ⁄ λ.
- P(T ≤ a) = 1 − e⁻λᵃ ; P(T > a) = e⁻λᵃ.
- Loi exponentielle = sans mémoire.
- Applications : pannes, désintégration, files d'attente.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi l'espérance d'une loi géométrique vaut-elle 1 ⁄ p ?
Q2. Que signifie « être sans mémoire » pour une durée de vie ?