Exo 1 · Facile Calculer
A = [[1, 0], [2, 3]] et B = [[0, 1], [1, 1]]. Calcule A + B et 2A.
Calcul matriciel
Terminale — option · Algorithmique · BO 2019 (Maths expertes)
Matrices et opérations, produit matriciel, matrice identité et inverse, résolution de systèmes linéaires.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu multiplier deux matrices 2×2 ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Systèmes d'équations linéaires.
- Calcul littéral, distributivité.
- Coordonnées et transformations du plan.
- Suites définies par récurrence.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Matrice et opérations
Une matrice de taille n×p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. L'addition et la multiplication par un réel se font terme à terme (mêmes tailles requises).
3.2 — Produit matriciel
Le produit AB existe si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Le coefficient (i ; j) de AB est la somme des produits de la ligne i de A par la colonne j de B. Attention : AB ≠ BA en général.
3.3 — Matrice identité et inverse
La matrice identité I vérifie AI = IA = A. Une matrice carrée A est inversible s'il existe A⁻¹ telle que A A⁻¹ = I. Pour une 2×2, A est inversible ⟺ ad − bc ≠ 0 (déterminant).
3.4 — Systèmes et récurrences
Un système linéaire s'écrit AX = B ; si A est inversible, X = A⁻¹B. Une suite de vecteurs définie par Uₙ₊₁ = A Uₙ vérifie Uₙ = Aⁿ U₀.
Erreur classique
Le produit matriciel n'est pas commutatif : AB et BA peuvent différer, voire l'un exister sans l'autre. Et (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, dans cet ordre.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Produit 2×2
A = [[1, 2], [0, 3]], B = [[4, 1], [2, 5]]. AB = [[8, 11], [6, 15]].
Ex 2 — Déterminant
A = [[2, 1], [3, 4]] : det A = 2×4 − 1×3 = 5 ≠ 0, donc A est inversible.
Ex 3 — Inverse 2×2
Pour A = [[a, b], [c, d]], A⁻¹ = (1 ÷ (ad − bc)) [[d, −b], [−c, a]].
Ex 4 — Système
Le système 2x + y = 5 ; 3x + 4y = 10 s'écrit AX = B avec A = [[2, 1], [3, 4]], résolu par X = A⁻¹B.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Avec les mêmes A et B, calcule le produit AB.
Exo 3 · Moyen Calculer
Vérifie sur un exemple que AB ≠ BA.
Exo 4 · Moyen Calculer
Calcule le déterminant de [[3, 2], [4, 1]] et son inverse s'il existe.
Exo 5 · Moyen Modéliser
Écris sous forme AX = B le système x + 2y = 4 ; 3x − y = 5, puis résous-le.
Exo 6 · Moyen Calculer
Pour A = [[2, 0], [0, 3]], calcule A² puis A³.
Exo 7 · Défi Raisonner
Une suite de vecteurs vérifie Uₙ₊₁ = A Uₙ. Exprime Uₙ et applique-le à U₀ = [[1], [0]] avec A = [[0, 1], [1, 1]].
Exo 8 · Défi Communiquer
Explique pourquoi une matrice 2×2 de déterminant nul n'est pas inversible.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Addition et produit par un réel : terme à terme.
- Produit AB : lignes de A × colonnes de B, non commutatif.
- I : élément neutre ; A⁻¹ : A A⁻¹ = I.
- 2×2 inversible ⟺ det = ad − bc ≠ 0.
- AX = B ⟹ X = A⁻¹B ; Uₙ = Aⁿ U₀.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 4 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi le produit matriciel n'est-il pas commutatif ?
Q2. Comment Uₙ = Aⁿ U₀ permet-il d'étudier une évolution discrète ?