Exo 1 · Facile Calculer
Calcule (3 + 2𝑖) + (1 − 5𝑖) et (3 + 2𝑖) − (1 − 5𝑖).
Nombres complexes — forme algébrique
Terminale — option · Algèbre · BO 2019 (Maths expertes)
Construire l'ensemble ℂ, calculer avec a + b𝑖, conjugué et module, résoudre az² + bz + c = 0 dans ℂ.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu ce que représente le nombre 𝑖 tel que 𝑖² = −1 ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Identités remarquables et développement.
- Résolution de ax² + bx + c = 0 dans ℝ (discriminant).
- Racine carrée, valeur absolue.
- Calcul fractionnaire et quantité conjuguée.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — L'ensemble ℂ
Il existe un ensemble ℂ contenant ℝ et un nombre 𝑖 tel que 𝑖² = −1. Tout complexe s'écrit de façon unique z = a + b𝑖 avec a, b réels : a = Re(z) est la partie réelle, b = Im(z) la partie imaginaire.
3.2 — Opérations
On calcule comme dans ℝ en remplaçant 𝑖² par −1. Somme : (a + b𝑖) + (c + d𝑖) = (a + c) + (b + d)𝑖. Produit : (a + b𝑖)(c + d𝑖) = (ac − bd) + (ad + bc)𝑖.
3.3 — Conjugué et module
Le conjugué de z = a + b𝑖 est z̄ = a − b𝑖. On a z·z̄ = a² + b². Le module est |z| = √(a² + b²), c'est la distance de l'image de z à l'origine. Pour diviser : multiplier par le conjugué du dénominateur.
3.4 — Équations du second degré
Pour az² + bz + c = 0 (a, b, c réels) avec Δ = b² − 4ac < 0 : les solutions sont z = (−b ± 𝑖√(−Δ)) ÷ (2a), deux complexes conjugués.
Erreur classique
𝑖 n'est pas √(−1) à manipuler comme une racine réelle : √a · √b = √(ab) est faux avec des négatifs. Et |z| n'est jamais négatif ni complexe.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Produit
(2 + 3𝑖)(1 − 𝑖) = 2 − 2𝑖 + 3𝑖 − 3𝑖² = 2 + 𝑖 + 3 = 5 + 𝑖.
Ex 2 — Quotient
(1 + 𝑖) ÷ (2 − 𝑖) = (1 + 𝑖)(2 + 𝑖) ÷ (4 + 1) = (2 + 𝑖 + 2𝑖 − 1) ÷ 5 = (1 + 3𝑖) ÷ 5.
Ex 3 — Module
|3 − 4𝑖| = √(9 + 16) = √25 = 5.
Ex 4 — Équation
z² + z + 1 = 0 : Δ = 1 − 4 = −3 < 0, donc z = (−1 ± 𝑖√3) ÷ 2.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Développe (2 − 𝑖)(3 + 𝑖) et donne la forme algébrique du résultat.
Exo 3 · Moyen Calculer
Donne la forme algébrique de (4 + 3𝑖) ÷ (1 + 2𝑖).
Exo 4 · Moyen Calculer
Calcule le module de chacun : 5 + 12𝑖 ; −1 + 𝑖 ; 6𝑖.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Détermine le conjugué de z = (2 − 𝑖)² puis vérifie que z·z̄ = |z|².
Exo 6 · Moyen Calculer
Résous dans ℂ : z² + 4 = 0 puis z² − 2z + 5 = 0.
Exo 7 · Défi Raisonner
Détermine les réels x, y tels que (x + y𝑖)(2 − 𝑖) = 3 + 4𝑖.
Exo 8 · Défi Communiquer
Explique pourquoi les solutions de az² + bz + c = 0 (coefficients réels, Δ < 0) sont toujours conjuguées.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- 𝑖² = −1, z = a + b𝑖 unique (a = Re, b = Im).
- Conjugué : z̄ = a − b𝑖, et z·z̄ = a² + b² = |z|².
- Module : |z| = √(a² + b²) ≥ 0.
- Diviser = multiplier par le conjugué du dénominateur.
- Δ < 0 ⟹ z = (−b ± 𝑖√(−Δ)) ÷ (2a).
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 6.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi la quantité conjuguée permet-elle d'écrire un quotient sous forme a + b𝑖 ?
Q2. Que vaut z·z̄ et pourquoi est-ce toujours un réel positif ?