Exo 1 · Facile Calculer
Écris sous forme exponentielle : 𝑖, −1, 1 − 𝑖.
Forme exponentielle et applications
Terminale — option · Algèbre · BO 2019 (Maths expertes)
Forme trigonométrique et exponentielle re^(iθ), produit et quotient, formules de Moivre et d'Euler, racines n-ièmes de l'unité.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu ce que signifie l'écriture e^(iθ) = cos θ + 𝑖 sin θ ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Module et argument d'un complexe (chapitre précédent).
- Valeurs remarquables de cos et sin.
- Propriétés de la fonction exponentielle réelle.
- Formules d'addition de la trigonométrie.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Forme trigonométrique
Tout complexe non nul s'écrit z = r(cos θ + 𝑖 sin θ) avec r = |z| > 0 et θ = arg(z). On passe de a + b𝑖 à cette forme via r = √(a² + b²), cos θ = a÷r, sin θ = b÷r.
3.2 — Notation exponentielle
On pose e^(iθ) = cos θ + 𝑖 sin θ. Alors z = r e^(iθ). Cette notation se comporte comme l'exponentielle : e^(iθ) · e^(iθ′) = e^(i(θ + θ′)).
3.3 — Produit, quotient, puissance
Avec z = r e^(iθ) et z′ = r′ e^(iθ′) : zz′ = rr′ e^(i(θ + θ′)) (les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent) et z ÷ z′ = (r÷r′) e^(i(θ − θ′)). Formule de Moivre : (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ).
3.4 — Formules d'Euler et racines
Euler : cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ)) ÷ 2 et sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ)) ÷ (2𝑖). Les racines n-ièmes de l'unité sont les e^(i 2kπ÷n) pour k = 0, …, n−1 : elles forment un polygone régulier sur le cercle unité.
Erreur classique
La forme exponentielle exige r > 0 : −2 e^(iθ) n'est pas une forme exponentielle. Réécrire −1 = e^(iπ) pour absorber le signe.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Mise sous forme e^(iθ)
z = 1 + 𝑖 : r = √2, θ = π÷4, donc z = √2 e^(iπ÷4).
Ex 2 — Produit
(√2 e^(iπ÷4))(2 e^(iπ÷6)) = 2√2 e^(i(π÷4 + π÷6)) = 2√2 e^(i 5π÷12).
Ex 3 — Moivre
(1 + 𝑖)⁸ = (√2)⁸ e^(i·8·π÷4) = 16 e^(i 2π) = 16.
Ex 4 — Racines cubiques de 1
Les solutions de z³ = 1 sont 1, e^(i 2π÷3), e^(i 4π÷3) : sommets d'un triangle équilatéral.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Donne la forme algébrique de 2 e^(iπ÷3).
Exo 3 · Moyen Calculer
Calcule (√3 e^(iπ÷6))(2 e^(iπ÷3)) puis le quotient des deux.
Exo 4 · Moyen Calculer
Utilise Moivre pour calculer (1 + 𝑖√3)⁶.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Résous dans ℂ l'équation z⁴ = 1 et place les solutions dans le plan.
Exo 6 · Moyen Représenter
Place les racines cubiques de l'unité et montre qu'elles forment un triangle équilatéral.
Exo 7 · Défi Raisonner
À l'aide des formules d'Euler, linéarise cos²θ.
Exo 8 · Défi Communiquer
Explique pourquoi multiplier par e^(iθ) revient géométriquement à effectuer une rotation d'angle θ.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- z = r e^(iθ) avec r = |z| > 0 et θ = arg(z).
- e^(iθ) = cos θ + 𝑖 sin θ (Euler).
- Produit : modules ×, arguments + ; Moivre : (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ).
- cos θ et sin θ s'expriment avec e^(iθ) et e^(−iθ).
- Racines n-ièmes de 1 : polygone régulier sur le cercle unité.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi la forme exponentielle simplifie-t-elle les puissances ?
Q2. Comment les formules d'Euler permettent-elles de linéariser cosⁿθ ?