Exo 1 · Facile Représenter
Place dans le plan complexe les points d'affixes 2 + 𝑖, −1 + 3𝑖 et −2𝑖.
Nombres complexes — point de vue géométrique
Terminale — option · Algèbre · BO 2019 (Maths expertes)
Affixe d'un point, plan complexe, argument et module, interprétation géométrique de z − z′ et des opérations.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu placer le point d'affixe 3 + 2𝑖 dans le plan ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Forme algébrique, conjugué et module (chapitre précédent).
- Repère orthonormé, coordonnées d'un point.
- Trigonométrie : cosinus, sinus, cercle trigonométrique.
- Vecteurs et distances dans le plan.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Affixe et plan complexe
Dans un repère orthonormé direct, au point M(a ; b) on associe son affixe z = a + b𝑖. Réciproquement, chaque complexe a une image unique. L'axe des abscisses est l'axe réel, celui des ordonnées l'axe imaginaire.
3.2 — Module = distance
|z| = OM est la distance de l'origine à M. Plus généralement, |z_B − z_A| = AB : le module d'une différence d'affixes donne la longueur du segment.
3.3 — Argument
Pour z ≠ 0, l'argument arg(z) = θ est une mesure de l'angle entre l'axe réel et OM. On a a = |z| cos θ et b = |z| sin θ. L'argument est défini modulo 2π.
3.4 — Conjugué et opposé
L'image de z̄ est le symétrique de M par rapport à l'axe réel ; celle de −z le symétrique par rapport à O. Une somme d'affixes correspond à une somme de vecteurs.
Erreur classique
L'argument n'est pas défini pour z = 0. Et attention au sens : arg(z) se lit de l'axe réel vers OM, dans le sens direct (antihoraire).
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Exemples résolus
Ex 1 — Distance
A d'affixe 1 + 2𝑖, B d'affixe 4 + 6𝑖. AB = |z_B − z_A| = |3 + 4𝑖| = √(9 + 16) = 5.
Ex 2 — Argument simple
z = 1 + 𝑖 : |z| = √2, et cos θ = sin θ = 1÷√2, donc arg(z) = π÷4.
Ex 3 — Imaginaire pur
z = 5𝑖 : son image est sur l'axe imaginaire, arg(z) = π÷2 et |z| = 5.
Ex 4 — Ensemble de points
L'ensemble des M tels que |z − (2 + 𝑖)| = 3 est le cercle de centre Ω(2 ; 1) et de rayon 3.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
A a pour affixe 3 − 𝑖, B pour affixe −1 + 2𝑖. Calcule la distance AB.
Exo 3 · Moyen Calculer
Détermine le module et un argument de z = −1 + 𝑖√3.
Exo 4 · Moyen Représenter
Décris l'ensemble des points M tels que |z − 2| = |z + 2𝑖|.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Montre que les points d'affixes z et z̄ sont symétriques par rapport à l'axe réel.
Exo 6 · Moyen Représenter
Décris l'ensemble des M tels que |z − (1 + 𝑖)| = 2.
Exo 7 · Défi Raisonner
A, B, C ont pour affixes 1, 𝑖 et −1. Montre que le triangle ABC est rectangle isocèle.
Exo 8 · Défi Communiquer
Explique pourquoi |z_B − z_A| mesure la distance AB en t'appuyant sur la définition du module.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Affixe z = a + b𝑖 ⟷ point M(a ; b).
- |z| = OM ; |z_B − z_A| = AB.
- arg(z) = angle (axe réel, OM), modulo 2π, indéfini en 0.
- z̄ : symétrie axe réel ; −z : symétrie par O.
- |z − ω| = r ⟹ cercle de centre Ω(ω) et rayon r.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi |z − ω| = r décrit-il un cercle ?
Q2. Comment passer des coordonnées (a ; b) au couple (module ; argument) ?