Exo 1 · Facile Calculer
Effectue la division euclidienne de 100 par 7, puis de −20 par 6.
Divisibilité et congruences
Terminale — option · Nombres et calculs · BO 2019 (Maths expertes)
Divisibilité dans ℤ, division euclidienne, congruences modulo n et leurs propriétés de calcul.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu ce que signifie « 17 ≡ 2 (mod 5) » ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Entiers relatifs, multiples et diviseurs.
- Division euclidienne (quotient, reste).
- Critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9.
- Raisonnement par disjonction de cas.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Divisibilité dans ℤ
On dit que b divise a (noté b | a) s'il existe un entier k tel que a = bk. Propriétés : si d | a et d | b alors d divise toute combinaison au + bv. Transitivité : d | a et a | c ⟹ d | c.
3.2 — Division euclidienne
Pour a ∈ ℤ et b ∈ ℕ*, il existe un unique couple (q ; r) tel que a = bq + r avec 0 ≤ r < b. r est le reste, q le quotient.
3.3 — Congruences
a ≡ b (mod n) signifie que n divise a − b, c'est-à-dire a et b ont le même reste dans la division par n. C'est une relation d'équivalence (réflexive, symétrique, transitive).
3.4 — Calcul avec les congruences
Si a ≡ a′ et b ≡ b′ (mod n), alors a + b ≡ a′ + b′ et ab ≡ a′b′ (mod n), et aᵏ ≡ a′ᵏ. Très utile pour trouver un reste de puissance ou un chiffre des unités.
Erreur classique
On ne peut pas « diviser » librement une congruence : 6 ≡ 0 (mod 6) mais 3 ≢ 0 (mod 6). La simplification dépend du PGCD avec n.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Division euclidienne
47 = 6 × 7 + 5 : quotient 7, reste 5 (mod 6). On a donc 47 ≡ 5 (mod 6).
Ex 2 — Reste de puissance
2¹⁰ mod 7 : 2³ = 8 ≡ 1, donc 2¹⁰ = 2⁹ · 2 ≡ 1³ · 2 = 2 (mod 7).
Ex 3 — Chiffre des unités
Chiffre des unités de 7²⁰²⁴ : les unités de 7ⁿ cyclent 7, 9, 3, 1. Comme 2024 ≡ 0 (mod 4), c'est 1.
Ex 4 — Critère par 9
10 ≡ 1 (mod 9), donc tout nombre est congru à la somme de ses chiffres mod 9 : d'où le critère de divisibilité par 9.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Détermine le reste de 38 modulo 5 et celui de 53 modulo 8.
Exo 3 · Moyen Raisonner
Montre que pour tout entier n, n(n + 1) est divisible par 2.
Exo 4 · Moyen Calculer
Calcule le reste de 3¹⁰⁰ dans la division par 7.
Exo 5 · Moyen Calculer
Quel est le chiffre des unités de 2²⁰²⁶ ?
Exo 6 · Moyen Raisonner
Montre que si a ≡ 3 (mod 5) alors a² ≡ 4 (mod 5).
Exo 7 · Défi Raisonner
Démontre que n³ − n est divisible par 6 pour tout entier n.
Exo 8 · Défi Communiquer
Explique pourquoi on ne peut pas toujours « simplifier » un facteur commun dans une congruence.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- b | a ⟺ a = bk ; d divise toute combinaison au + bv.
- Division euclidienne : a = bq + r, 0 ≤ r < b, unique.
- a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b).
- Les congruences se conservent par + , × et puissances.
- Outil clé pour restes de puissances et chiffres des unités.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 4 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi les congruences se conservent-elles par multiplication ?
Q2. Comment ramener le calcul d'un grand reste de puissance à un petit cycle ?