Exo 1 · Facile Calculer
Les nombres 51, 53 et 57 sont-ils premiers ? Justifie.
Nombres premiers
Terminale — option · Nombres et calculs · BO 2019 (Maths expertes)
Définition, infinité des nombres premiers, décomposition en produit de facteurs premiers, petit théorème de Fermat.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu décomposer 360 en produit de facteurs premiers ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Divisibilité, PGCD, théorème de Gauss.
- Congruences modulo n.
- Raisonnement par l'absurde.
- Critères de divisibilité usuels.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Définition
Un entier p ≥ 2 est premier s'il n'a que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Tout entier n ≥ 2 admet au moins un diviseur premier. Pour tester la primalité de n, il suffit de chercher un diviseur premier ≤ √n.
3.2 — Infinité des nombres premiers
Il existe une infinité de nombres premiers (Euclide). Démonstration par l'absurde : à partir d'une liste finie p₁, …, pₙ, le nombre N = p₁…pₙ + 1 a un diviseur premier hors de la liste.
3.3 — Décomposition en facteurs premiers
Tout entier n ≥ 2 s'écrit de manière unique comme produit de premiers : n = p₁^a₁ × … × pₖ^aₖ (théorème fondamental de l'arithmétique). On en déduit PGCD et PPCM par comparaison des exposants.
3.4 — Petit théorème de Fermat
Si p est premier et a non divisible par p, alors a^(p−1) ≡ 1 (mod p). Sous forme générale : aᵖ ≡ a (mod p) pour tout entier a. Utile pour les restes de grandes puissances.
Erreur classique
1 n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur). Et la réciproque de Fermat est fausse : a^(n−1) ≡ 1 (mod n) ne garantit pas que n soit premier.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Test de primalité
101 est-il premier ? √101 ≈ 10. Aucun premier ≤ 10 (2, 3, 5, 7) ne le divise : 101 est premier.
Ex 2 — Décomposition
360 = 2³ × 3² × 5.
Ex 3 — PGCD par décomposition
PGCD(360 ; 84) : 360 = 2³·3²·5, 84 = 2²·3·7, PGCD = 2² × 3 = 12.
Ex 4 — Fermat
Reste de 3¹⁰⁰ mod 7 : par Fermat 3⁶ ≡ 1, et 100 = 6×16 + 4, donc 3¹⁰⁰ ≡ 3⁴ = 81 ≡ 4 (mod 7).
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Décompose 504 en produit de facteurs premiers.
Exo 3 · Moyen Calculer
À partir des décompositions, calcule PGCD et PPCM de 120 et 90.
Exo 4 · Moyen Raisonner
Montre que 113 est premier en testant les diviseurs premiers jusqu'à √113.
Exo 5 · Moyen Calculer
Utilise le petit théorème de Fermat pour calculer 2¹⁰⁰ mod 11.
Exo 6 · Moyen Raisonner
Combien de diviseurs positifs a le nombre 2³ × 3² × 5 ? Justifie la formule.
Exo 7 · Défi Raisonner
Reprends la preuve d'Euclide : explique pourquoi N = p₁…pₙ + 1 fournit un nouveau premier.
Exo 8 · Défi Communiquer
Explique pourquoi 1 n'est pas considéré comme un nombre premier, et l'intérêt de cette convention.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Premier = exactement deux diviseurs ; tester jusqu'à √n.
- Infinité des nombres premiers (preuve d'Euclide).
- Décomposition unique en facteurs premiers.
- PGCD et PPCM par comparaison des exposants.
- Petit Fermat : aᵖ ≡ a (mod p), a^(p−1) ≡ 1 si p ∤ a.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi suffit-il de tester les diviseurs jusqu'à √n ?
Q2. En quoi le petit théorème de Fermat accélère-t-il les calculs de puissances modulaires ?