Démontrer que deux droites sont parallèles à partir des longueurs.
ÉTAPE 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu sur cette notion ?
Sais-tu prouver que deux droites sont parallèles à partir des longueurs ?
Pourquoi cette question ? Quand tu fais le point sur ce que tu sais (ou crois savoir), ton cerveau met l'attention au bon endroit. C'est ce qu'on appelle la métacognition. Tu apprendras 2× mieux qu'en lisant passivement.
ÉTAPE 02 / 07
Réveil des prérequis
Quelques questions éclair. Réponds avant de regarder la solution.
1. Que vaut 5,4 / 9 ?
2. La réciproque de Thalès permet de prouver :
3. Si 3/5 = 0,6 et 6/10 = 0,6, les rapports sont :
Effet de récupération. Te tester (même sur les bases) active la mémoire bien plus qu'une relecture. Ce que tu retrouves toi-même, tu le gardes.
ÉTAPE 03 / 07
Rappel — la règle
Énoncé de la réciproque
Si M est un point de [AB], N un point de [AC], et si les points sont alignés dans le même ordre (A−M−B et A−N−C), et si :
AMAB = ANAC
alors (MN) // (BC).
Méthode (rédaction type DNB)
Vérifier que les points sont alignés dans le même ordre.
Calculer le 1ᵉʳ rapport AMAB.
Calculer le 2ᵉ rapport ANAC.
Comparer les deux rapports.
Conclure : si égaux → parallèles (par réciproque). Sinon → non parallèles.
Pièges fréquents
L'ordre des points compte : A−M−B et A−N−C dans le même sens. Sinon → contre-exemple.
Si les rapports sont DIFFÉRENTS → on conclut « (MN) N'EST PAS parallèle à (BC) ».
On dit « par la réciproque du théorème de Thalès » dans la conclusion.
Au DNB, on attend une rédaction propre avec les rapports calculés et une comparaison explicite.
Exemple résolu
AM = 3, AB = 6, AN = 4, AC = 8. AMAB = 36 = 0,5 et ANAC = 48 = 0,5. Les rapports sont égaux → par la réciproque de Thalès, (MN)//(BC).
Démo visuelle — rapports égaux ou pas ?
L'animation montre 2 cas alternés : rapports égaux → parallèle, et rapports différents → pas parallèle.
M ∈ [AB], N ∈ [AC]. AM = 4, AB = 10, AN = 6, AC = 15. (MN) est-elle parallèle à (BC) ?
Étape 1 — Calculer AM/AB
AMAB =
Étape 2 — Calculer AN/AC
ANAC =
Étape 3 — Conclure
(MN)//(BC) ?
Conclusion
Les rapports sont égaux (0,4 = 0,4) → par la réciproque de Thalès, (MN)//(BC).
Exo guidé · 2 — cas où ce n'est PAS parallèle
M ∈ [AB], N ∈ [AC]. AM = 3, AB = 8, AN = 5, AC = 12. (MN) // (BC) ?
Étape 1 — AM/AB
AMAB =
Étape 2 — AN/AC
ANAC =
Étape 3 — Conclure
(MN)//(BC) ?
Conclusion
3/8 ≈ 0,375 et 5/12 ≈ 0,417. Différents → (MN) N'EST PAS parallèle à (BC).
À toi !
Exo · 1 — parallèles ?
AM = 3, AB = 9, AN = 5, AC = 15. (MN)//(BC) ?
Réponse (oui ou non)
Correction
AMAB = 39 = 13 · ANAC = 515 = 13
Égaux → (MN)//(BC) par la réciproque de Thalès.
Exo · 2 — pas parallèles
AM = 4, AB = 10, AN = 6, AC = 12. (MN)//(BC) ?
Réponse (oui ou non)
Correction
AMAB = 410 = 0,4 · ANAC = 612 = 0,5
0,4 ≠ 0,5 → (MN) N'EST PAS parallèle à (BC).
Exo · 3 — fractions à comparer
AM = 6, AB = 14, AN = 9, AC = 21. (MN)//(BC) ?
Réponse (oui ou non)
Correction
AMAB = 614 = 37 · ANAC = 921 = 37
Égaux → (MN)//(BC) par la réciproque.
Exo · 4 — produits en croix
Astuce : pour comparer 712 et 2136, on peut utiliser un produit en croix. Quelle relation entre 7×36 et 12×21 confirme l'égalité ?
Tape « égaux » ou « différents »
Correction
7 × 36 = 252 · 12 × 21 = 252
Produits égaux → fractions égales → (MN)//(BC) si appliqué dans Thalès.
Exo · 5 — interprétation
Si AMAB ≠ ANAC, que peut-on conclure sur (MN) et (BC) ?
Réponse
Correction
(MN) n'est PAS parallèle à (BC).
DNB type — vérification d'un parallélisme
Le toit de la maison
Sur un plan, ABC est un triangle. M ∈ [AB] avec AM = 5,4 cm et AB = 9 cm. N ∈ [AC] avec AN = 4 cm et AC = 6,4 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
Correction
AMAB = 5,49 = 0,6.
ANAC = 46,4 = 0,625.
0,6 ≠ 0,625 → (MN) n'est PAS parallèle à (BC).
ÉTAPE 06 / 07
Ta synthèse (à compléter)
Reformule avec tes mots. C'est ce qui ancre le savoir.
Effet de génération. Écrire avec tes propres mots est bien plus puissant que recopier le cours. Ce que tu produis, tu le retiens.
ÉTAPE 07 / 07
Programme de révision
Pour ne pas oublier : reviens sur cette notion à ces dates. Le cerveau a besoin de revoir pour fixer.
TON PLANNING DE RÉACTIVATION
Courbe d'Ebbinghaus. Sans révision, tu oublies 70 % en 24 h. Avec ces 4 retours espacés, tu retiens à long terme. C'est exactement comme ça que les apps de langues fonctionnent.
Comment vraiment apprendre
MYTHE 1
Surligner et relire
✓ Se tester sans regarder
MYTHE 2
Tout réviser la veille
✓ Petit à petit, espacé
MYTHE 3
Faire 20 fois le même exo
✓ Mélanger les types
MYTHE 4
Apprendre en écoutant
✓ Apprendre en produisant
À retenir
La réciproque permet de prouver que deux droites sont parallèles.
Calcule les deux rapports puis compare : égaux → parallèles, différents → non parallèles.
Vérifie toujours que les points sont placés dans le même ordre sur chaque côté.