Le cas de proportionnalité : pas d'ordonnée à l'origine, droite passant par O.
ÉTAPE 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu sur cette notion ?
Sais-tu reconnaître une fonction linéaire et calculer son coefficient ?
Pourquoi cette question ? Quand tu fais le point sur ce que tu sais (ou crois savoir), ton cerveau met l'attention au bon endroit. C'est ce qu'on appelle la métacognition. Tu apprendras 2× mieux qu'en lisant passivement.
ÉTAPE 02 / 07
Réveil des prérequis
Quelques questions éclair. Réponds avant de regarder la solution.
1. Une fonction linéaire f(x) = ax a sa droite qui passe par :
2. Pour f(x) = 5x, le coefficient est :
3. Si f(4) = 12, alors a = ?
Effet de récupération. Te tester (même sur les bases) active la mémoire bien plus qu'une relecture. Ce que tu retrouves toi-même, tu le gardes.
ÉTAPE 03 / 07
Rappel — la règle
Définition
Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax, avec a un nombre réel non nul appelé coefficient.
C'est le modèle de la proportionnalité : si x double, f(x) double. Si x triple, f(x) triple.
Représentation graphique
La représentation graphique de f(x) = ax est une droite passant par l'origine O. Le coefficient a est la pente de la droite (= l'augmentation de y quand x augmente de 1).
Pour f(x) = 2x : a = 2 (pente), passe par O et par (1, 2).
Trouver le coefficient a
Si on connaît un point (x ; y) ≠ (0 ; 0) de la droite : a = yx.
Ex : la droite passe par (3 ; 12) → a = 123 = 4. Donc f(x) = 4x.
Pièges fréquents
Une fonction linéaire passe TOUJOURS par O. Si la droite ne passe pas par O → c'est une fonction affine (avec b ≠ 0).
Image de 0 : f(0) = 0 toujours.
Pour vérifier que c'est une situation linéaire (proportionnalité) : tester si y/x est CONSTANT pour tous les points.
Le coefficient a peut être négatif (fonction décroissante) ou en fraction.
Exemple résolu
f(x) = 3x. f(2) = 6 · f(−5) = −15. Antécédent de 12 : 3x = 12 → x = 4. La représentation est une droite passant par O et par (1 ; 3).
Exo guidé · 1 — image et coefficient
Soit f la fonction linéaire telle que f(4) = 20.
Étape 1 — Trouver le coefficient a
f(x) = ax. f(4) = 4a = 20. Donc a = ?
a =
Étape 2 — Calculer f(7)
f(x) = 5x → f(7) = ?
f(7) =
Résultat final
a = 5 → f(x) = 5x → f(7) = 35
Exo guidé · 2 — antécédent
Soit f(x) = −3x. Trouve un antécédent de 18.
Étape — Résoudre f(x) = 18
−3x = 18 → x = ?
x =
Résultat final
−3x = 18 → x = 18/(−3) = −6
À toi !
Exo · 1 — image directe
f(x) = 7x. Calcule f(−2).
f(−2) = ?
Correction
f(−2) = 7 × (−2) = −14
Exo · 2 — déterminer le coefficient
Une fonction linéaire f vérifie f(6) = 24. Quel est son coefficient a ?
a = ?
Correction
a = f(6)6 = 246
a = 4 (donc f(x) = 4x)
Exo · 3 — antécédent
f(x) = 2,5 x. Trouve un antécédent de 10.
x = ?
Correction
2,5x = 10 → x = 10/2,5
x = 4
Exo · 4 — linéaire ou pas ?
Parmi ces fonctions, laquelle est linéaire ? Tape la lettre A, B ou C. A. f(x) = 3x + 1 · B. f(x) = 4x · C. f(x) = x² − 5
Lettre
Correction
Réponse : B. f(x) = 4x est linéaire.
Exo · 5 — application
Le prix de x kg de pommes est P(x) = 2,5 x (en €). Quelle est l'image de 4 kg ?
Prix pour 4 kg (en €)
Correction
P(4) = 2,5 × 4 = 10 €
DNB type — l'abonnement vélo
Le prix au kilomètre
Une location de vélo électrique facture sans abonnement. Pour 25 km parcourus, l'utilisateur paie 5 €. Si la fonction P : x → prix est linéaire, quel est son coefficient ? Combien coûtent 60 km ?
Tape juste le prix pour 60 km en €.
Correction
Coefficient a = P(25)/25 = 5/25 = 0,2 €/km.
Pour 60 km : P(60) = 0,2 × 60 = 12 €.
ÉTAPE 06 / 07
Ta synthèse (à compléter)
Reformule avec tes mots. C'est ce qui ancre le savoir.
Effet de génération. Écrire avec tes propres mots est bien plus puissant que recopier le cours. Ce que tu produis, tu le retiens.
ÉTAPE 07 / 07
Programme de révision
Pour ne pas oublier : reviens sur cette notion à ces dates. Le cerveau a besoin de revoir pour fixer.
TON PLANNING DE RÉACTIVATION
Courbe d'Ebbinghaus. Sans révision, tu oublies 70 % en 24 h. Avec ces 4 retours espacés, tu retiens à long terme. C'est exactement comme ça que les apps de langues fonctionnent.
Comment vraiment apprendre
MYTHE 1
Surligner et relire
✓ Se tester sans regarder
MYTHE 2
Tout réviser la veille
✓ Petit à petit, espacé
MYTHE 3
Faire 20 fois le même exo
✓ Mélanger les types
MYTHE 4
Apprendre en écoutant
✓ Apprendre en produisant
À retenir
Une fonction linéaire = situation de proportionnalité, droite passant par O.
Coefficient a = f(x) / x (pour x ≠ 0).
Représentation : droite passant par O et par (1 ; a).