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Semaine 1 · Notion 2 Mercredi 13 mai

Identités $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$

Développer un carré sans repasser par la double distributivité.

ÉTAPE 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu sur cette notion ?

Sais-tu déjà développer $(x + 3)²$ sans passer par la double distributivité ?

Pourquoi cette question ? Quand tu fais le point sur ce que tu sais (ou crois savoir), ton cerveau met l'attention au bon endroit. C'est ce qu'on appelle la métacognition. Tu apprendras 2× mieux qu'en lisant passivement.

ÉTAPE 02 / 07

Réveil des prérequis

Quelques questions éclair. Réponds avant de regarder la solution.

1. Combien fait

5²

2. Que vaut

(2x)²

3. Développe

(x+2)(x+3)

par double distributivité.

Effet de récupération. Te tester (même sur les bases) active la mémoire bien plus qu'une relecture. Ce que tu retrouves toi-même, tu le gardes.

ÉTAPE 03 / 07

Rappel — la règle

Identité n°1 — Carré d'une somme

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

On élève chaque terme au carré, et on ajoute 2 fois leur produit.

Identité n°2 — Carré d'une différence

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Même chose, mais le terme du milieu est négatif. Le carré de b reste positif (carré → toujours positif).

Piège n°1 — Le terme du milieu

L'erreur la plus fréquente : oublier le $2ab$ et écrire seulement $a^2 + b^2$. FAUX !

$(x + 3)^2 \neq x^2 + 9$

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Piège n°2 — Le coefficient devant x

Quand $a$ contient un coefficient (ex. $a = 2x$), il faut tout élever au carré :

$(2x)^2 = 4x^2$ (pas $2x^2$)

Exemple résolu

$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

$(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$

Démo visuelle — pourquoi (a+b)² = a² + 2ab + b²

Un carré de côté (a+b) se découpe en 4 zones : un carré a², un carré b², et deux rectangles ab. Exemple a=3, b=2.

a² = 9 + 2ab = 12 + b² = 4 = (a+b)² = 25

Exo guidé · 1 — somme

Développe $(x + 5)^2$ en utilisant l'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

A = (x + 5)²

Étape 1 — Identifier a et b

Compare avec $(a+b)^2$ : que vaut a ? Que vaut b ?

a = · b =

Étape 2 — Appliquer la formule a² + 2ab + b²

Remplace a et b dans la formule, calcule chaque terme.

A =

Résultat final

$A = x^2 + 10x + 25$

Exo guidé · 2 — différence

Développe $(x - 3)^2$ avec $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

B = (x − 3)²

Étape 1 — Identifier a et b

Ici b est positif dans la formule (le « − » est dans la formule, pas dans b).

a = · b =

Étape 2 — Appliquer la formule a² − 2ab + b²

Le terme du milieu est négatif. Le b² reste positif (carré).

B =

Résultat final

$B = x^2 - 6x + 9$

Exo guidé · 3 — coefficient devant x

Développe $(2x + 1)^2$.

C = (2x + 1)²

Étape 1 — Identifier a et b

Ici a contient un coefficient. Tape l'expression complète de a.

a = · b =

Étape 2 — Appliquer la formule

$(2x)^2 = 4x^2$ (pas $2x^2$). Et $2 \times 2x \times 1 = 4x$.

C =

Résultat final

$C = 4x^2 + 4x + 1$

À toi !

Pour chaque exo : forme développée d'abord (4 termes), puis forme réduite. Bouton « Nouvel exercice » pour relancer.

Exo · 1

Développe :

D = (x + 7)²

Étape 1 — Forme développée

Écris la forme avec le terme du milieu non simplifié (ex : x² + 2×7x + 49).

Étape 2 — Forme finale

C'est déjà sous forme finale, recopie ton résultat.

Correction

D = (x + 7)²

D = x² + 14x + 49

Exo · 2 — différence

Développe :

E = (x − 4)²

Étape 1 — Forme développée

Identité $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Le b² reste positif !

Étape 2 — Forme finale

Correction

E = (x − 4)²

E = x² - 8x + 16

Exo · 3 — coefficient + différence

Développe :

F = (3x − 2)²

Étape 1 — Forme développée

a = 3x → a² = 9x² (pas 3x²). Et 2ab = 2×3x×2 = 12x.

Étape 2 — Forme finale

Correction

F = (3x − 2)²

F = 9x² - 12x + 4

Défi Brevet · DNB

Programme de calcul (type brevet)

Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre.
Lui ajouter 3.
Élever le résultat au carré.

En partant de x, donne l'expression sous forme développée et réduite.

Correction

On part de x, on ajoute 3 → $x + 3$, puis on élève au carré → $(x + 3)^2$.

Avec l'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

ÉTAPE 06 / 07

Ta synthèse (à compléter)

Reformule avec tes mots. C'est ce qui ancre le savoir.

(a+b)² développé :

(a−b)² développé :

Erreur à éviter :

Si a = 3x alors a² = ?

Effet de génération. Écrire avec tes propres mots est bien plus puissant que recopier le cours. Ce que tu produis, tu le retiens.

ÉTAPE 07 / 07

Programme de révision

Pour ne pas oublier : reviens sur cette notion à ces dates. Le cerveau a besoin de revoir pour fixer.

TON PLANNING DE RÉACTIVATION

Courbe d'Ebbinghaus. Sans révision, tu oublies 70 % en 24 h. Avec ces 4 retours espacés, tu retiens à long terme. C'est exactement comme ça que les apps de langues fonctionnent.

Comment vraiment apprendre

MYTHE 1

Surligner et relire

✓ Se tester sans regarder

MYTHE 2

Tout réviser la veille

✓ Petit à petit, espacé

MYTHE 3

Faire 20 fois le même exo

✓ Mélanger les types

MYTHE 4

Apprendre en écoutant

✓ Apprendre en produisant

À retenir

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — somme
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — différence (le terme du milieu est négatif)
Le carré $b^2$ est toujours positif, même si $b$ est négatif.
Si $a = kx$ (avec coefficient), alors $a^2 = k^2 x^2$ (le coefficient est aussi au carré).
Ne jamais oublier le terme $2ab$ — c'est l'erreur la plus fréquente.