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Semaine 1 · Notion 3 Vendredi 15 mai

Différence de carrés $a^2 - b^2$

L'identité dans les deux sens : développer et factoriser.

ÉTAPE 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu sur cette notion ?

Sais-tu factoriser $x² - 9$ en utilisant la troisième identité ?

Pourquoi cette question ? Quand tu fais le point sur ce que tu sais (ou crois savoir), ton cerveau met l'attention au bon endroit. C'est ce qu'on appelle la métacognition. Tu apprendras 2× mieux qu'en lisant passivement.

ÉTAPE 02 / 07

Réveil des prérequis

Quelques questions éclair. Réponds avant de regarder la solution.

1. Combien fait

7²

2. Quel est le carré qui donne 81 ?

3. Que vaut

(2x)²

Effet de récupération. Te tester (même sur les bases) active la mémoire bien plus qu'une relecture. Ce que tu retrouves toi-même, tu le gardes.

ÉTAPE 03 / 07

Rappel — la règle

Identité — la troisième identité remarquable

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Quand on développe $(a-b)(a+b)$, les termes croisés $-ab$ et $+ab$ se simplifient.

Sens inverse — pour FACTORISER

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Si tu vois une différence de deux carrés (terme positif − terme positif au carré), tu peux la factoriser.

Piège n°1 — Une SOMME de carrés ne se factorise PAS

$a^2 + b^2$ ne se factorise pas avec cette identité (et pas du tout au niveau brevet).

$x^2 + 9 \neq (x-3)(x+3)$

Piège n°2 — Reconnaître les carrés cachés

Pour factoriser, il faut voir que chaque terme est un carré parfait :

$4x^2 = (2x)^2$ · $9x^2 = (3x)^2$ · $25 = 5^2$ · $49 = 7^2$

Petits carrés à connaître par cœur : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Exemples

Développer : $(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$

Factoriser : $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$

Avec coef : $9x^2 - 16 = (3x - 4)(3x + 4)$

Démo visuelle — a²−b² = (a−b)(a+b) (a=5, b=2)

À gauche : carré a² avec un coin b² retiré (forme en L). À droite : la même surface recomposée en rectangle (a−b)×(a+b).

a² − b² = 25 − 4 = 21 = (a−b)(a+b) = 3 × 7 = 21 ✓

Exo guidé · 1 — développer

Développe et réduis $(x - 7)(x + 7)$.

A = (x − 7)(x + 7)

Étape 1 — Reconnaître l'identité

C'est une forme $(a-b)(a+b)$. Identifie a et b.

a = · b =

Étape 2 — Appliquer $a^2 - b^2$

Pas besoin de développer les 4 produits : c'est directement $a^2 - b^2$.

A =

Résultat final

$A = x^2 - 49$

Exo guidé · 2 — factoriser

Factorise $x^2 - 36$.

B = x² − 36

Étape 1 — Identifier les carrés

$a^2 = x^2$ donc a = ? · $b^2 = 36$ donc b = ?

a = · b =

Étape 2 — Écrire la forme factorisée $(a-b)(a+b)$

Remplace a et b. Écris chaque parenthèse.

B = ( − ) · ( + )

Résultat final

$B = (x - 6)(x + 6)$

Exo guidé · 3 — coefficient

Factorise $4x^2 - 9$.

C = 4x² − 9

Étape 1 — Reconnaître les carrés cachés

$4x^2 = (?)^2$ et $9 = (?)^2$. Tape ce qu'il faut élever au carré.

a = · b =

Étape 2 — Écrire $(a-b)(a+b)$

C = ( − ) · ( + )

Résultat final

$C = (2x - 3)(2x + 3)$

À toi !

Mix développer / factoriser. Bouton « Nouvel exercice » pour relancer avec d'autres nombres.

Exo · 1 — développer

Développe et réduis :

D = (x − 4)(x + 4)

Étape 1 — Forme développée (4 produits)

Si tu n'utilises pas l'identité, tu peux faire les 4 produits croisés.

Étape 2 — Forme réduite

Les termes en x s'annulent.

Correction

D = (x − 4)(x + 4)

D = x² + 4x - 4x - 16

D = x² - 16

Exo · 2 — factoriser

Factorise :

E = x² − 25

Étape 1 — Identifier a et b

Quel nombre élevé au carré donne 25 ? (Sépare avec une virgule : ex « x, 5 ».)

Étape 2 — Forme factorisée $(a-b)(a+b)$

Écris la factorisation finale.

Correction

E = x² − 25

a = x, b = 5

E = (x − 5)(x + 5)

Exo · 3 — factoriser avec coefficient

Factorise :

F = 9x² − 16

Étape 1 — Identifier a et b

$9x^2 = (3x)^2$, donc a = 3x. (Format : « 3x, 4 ».)

Étape 2 — Forme factorisée

Correction

F = 9x² − 16

a = 3x, b = 4

F = (3x − 4)(3x + 4)

Défi Brevet · DNB

Calcul mental astucieux

Calcule sans poser l'opération :

$103 \times 97$

Indice : utilise l'identité $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ avec $a = 100$ et $b = 3$.

Correction

$103 = 100 + 3$ et $97 = 100 - 3$.

Donc $103 \times 97 = (100 + 3)(100 - 3) = (100 - 3)(100 + 3)$.

Avec l'identité : $= 100^2 - 3^2 = 10\,000 - 9 = 9\,991$

ÉTAPE 06 / 07

Ta synthèse (à compléter)

Reformule avec tes mots. C'est ce qui ancre le savoir.

L’identité s’écrit :

Pour factoriser, je cherche :

Erreur à éviter :

Coefficient au carré :

Effet de génération. Écrire avec tes propres mots est bien plus puissant que recopier le cours. Ce que tu produis, tu le retiens.

ÉTAPE 07 / 07

Programme de révision

Pour ne pas oublier : reviens sur cette notion à ces dates. Le cerveau a besoin de revoir pour fixer.

TON PLANNING DE RÉACTIVATION

Courbe d'Ebbinghaus. Sans révision, tu oublies 70 % en 24 h. Avec ces 4 retours espacés, tu retiens à long terme. C'est exactement comme ça que les apps de langues fonctionnent.

Comment vraiment apprendre

MYTHE 1

Surligner et relire

✓ Se tester sans regarder

MYTHE 2

Tout réviser la veille

✓ Petit à petit, espacé

MYTHE 3

Faire 20 fois le même exo

✓ Mélanger les types

MYTHE 4

Apprendre en écoutant

✓ Apprendre en produisant

À retenir

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ (les termes croisés s'annulent).
Pour factoriser $a^2 - b^2$ : reconnaître les deux carrés, écrire $(a-b)(a+b)$.
Une somme de carrés $a^2 + b^2$ ne se factorise pas.
Le coefficient passe au carré aussi : $4x^2 = (2x)^2$.
Carrés à connaître : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.