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Semaine 2 · Notion 4 Lundi 18 mai

Factoriser (cas simples)

Repérer le facteur commun et le mettre en évidence.

ÉTAPE 01 / 07

Avant de commencer

Question honnête : où en es-tu sur cette notion ?

Sais-tu mettre en facteur dans $3x + 12$ ?

Pourquoi cette question ? Quand tu fais le point sur ce que tu sais (ou crois savoir), ton cerveau met l'attention au bon endroit. C'est ce qu'on appelle la métacognition. Tu apprendras 2× mieux qu'en lisant passivement.

ÉTAPE 02 / 07

Réveil des prérequis

Quelques questions éclair. Réponds avant de regarder la solution.

1. Quel est le diviseur commun à 6 et 9 ?

2. Que vaut

5 \times 4

3. Développe

3(x + 4)

Effet de récupération. Te tester (même sur les bases) active la mémoire bien plus qu'une relecture. Ce que tu retrouves toi-même, tu le gardes.

ÉTAPE 03 / 07

Rappel — la règle

Méthode — facteur commun direct

Quand un même nombre (ou une même expression) apparaît dans plusieurs termes, on le met en facteur :

$ka + kb = k(a + b)$

Exemple : $3x + 12 = 3 \times x + 3 \times 4 = 3(x + 4)$.

Méthode — facteur commun avec x

Quand $x$ apparaît dans tous les termes (et un nombre aussi), on factorise par $x$ multiplié par ce nombre :

$ax^2 + bx = x(ax + b)$

Exemple : $5x^2 - 10x = 5x \times x + 5x \times (-2) = 5x(x - 2)$.

Méthode — facteur commun composé

Le facteur commun peut être une parenthèse entière (le brevet adore !) :

$(x+1)(2x+3) + (x+1)(x-2) = (x+1)\big[(2x+3) + (x-2)\big]$

Puis on simplifie l'intérieur des crochets : $= (x+1)(3x+1)$.

Piège — le « 1 » caché

Quand un facteur apparaît seul, il y a un « ×1 » implicite :

$(x+3)(x-1) + (x+3) = (x+3)(x-1) + (x+3) \times 1 = (x+3)\big[(x-1) + 1\big] = (x+3) \times x$

Exemples

$7x + 21 = 7(x + 3)$

$3x^2 + 9x = 3x(x + 3)$

$(x-4)(2x+1) - (x-4)(x+5) = (x-4)\big[(2x+1) - (x+5)\big] = (x-4)(x-4) = (x-4)^2$

Exo guidé · 1 — facteur entier

Factorise l'expression suivante.

A = 3x + 12

Étape 1 — Trouver le facteur commun

Quel nombre divise à la fois 3 et 12 ?

Facteur commun =

Étape 2 — Écrire la factorisation

$3x = 3 \times$ ? · $12 = 3 \times$ ?

A = 3 × ( + )

Résultat final

$A = 3(x + 4)$

Exo guidé · 2 — facteur avec x

Factorise.

B = 5x² − 10x

Étape 1 — Trouver le facteur commun (avec x)

5x² et 10x ont en commun un nombre ET le « x ». Quel est le facteur ?

Facteur commun =

Étape 2 — Écrire la factorisation

$5x^2 = 5x \times$ ? · $-10x = 5x \times$ ?

B = 5x · ( − )

Résultat final

$B = 5x(x - 2)$

Exo guidé · 3 — facteur composé

Factorise.

C = (x + 1)(2x + 3) + (x + 1)(x − 2)

Étape 1 — Identifier le facteur commun

Quelle parenthèse est présente dans les deux produits ? Tape l'expression.

Facteur commun =

Étape 2 — Mettre (x+1) en facteur, ajouter ce qui reste, réduire

$C = (x+1) \cdot \big[(2x+3) + (x-2)\big]$. Réduis l'intérieur des crochets.

C = (x + 1) · ( + )

Résultat final

$C = (x + 1)(3x + 1)$

À toi !

Réponse au format $k(...)$ ou $kx(...)$ ou $(...)(...)$ selon le cas. Bouton « Nouvel exercice » pour relancer.

Exo · 1 — facteur entier

Factorise :

D = 7x + 21

Forme factorisée

Format : nombre(x ± nombre).

Correction

D = 7x + 21

Facteur commun : 7

D = 7(x + 3)

Exo · 2 — facteur avec x

Factorise :

E = 3x² + 12x

Forme factorisée

Le facteur commun contient aussi un « x ». Format : kx(... ± ...).

Correction

E = 3x² + 12x

Facteur commun : 3x

E = 3x(x + 4)

Exo · 3 — facteur composé

Factorise :

F = (x + 2)(3x + 1) + (x + 2)(x − 4)

Forme factorisée

Met le facteur commun en évidence et réduis ce qui reste à l'intérieur.

Correction

F = (x + 2)(3x + 1) + (x + 2)(x − 4)

Facteur commun : (x + 2). Reste : (3x+1) + (x−4) = 4x − 3

F = (x + 2)(4x − 3)

Défi Brevet

Factorisation type brevet

Factorise l'expression suivante :

$G = (x - 5)(2x + 3) - (x - 5)(x + 7)$

Correction

Facteur commun : $(x - 5)$.

$G = (x-5)\big[(2x+3) - (x+7)\big]$

$G = (x-5)(2x + 3 - x - 7) = (x-5)(x - 4)$

Attention au signe « − » devant la 2ᵉ parenthèse : il change tous les signes à l'intérieur.

ÉTAPE 06 / 07

Ta synthèse (à compléter)

Reformule avec tes mots. C'est ce qui ancre le savoir.

La règle de base :

Je cherche d’abord :

Erreur à éviter :

Vérification :

Effet de génération. Écrire avec tes propres mots est bien plus puissant que recopier le cours. Ce que tu produis, tu le retiens.

ÉTAPE 07 / 07

Programme de révision

Pour ne pas oublier : reviens sur cette notion à ces dates. Le cerveau a besoin de revoir pour fixer.

TON PLANNING DE RÉACTIVATION

Courbe d'Ebbinghaus. Sans révision, tu oublies 70 % en 24 h. Avec ces 4 retours espacés, tu retiens à long terme. C'est exactement comme ça que les apps de langues fonctionnent.

Comment vraiment apprendre

MYTHE 1

Surligner et relire

✓ Se tester sans regarder

MYTHE 2

Tout réviser la veille

✓ Petit à petit, espacé

MYTHE 3

Faire 20 fois le même exo

✓ Mélanger les types

MYTHE 4

Apprendre en écoutant

✓ Apprendre en produisant

À retenir

Cherche d'abord ce qui est commun aux termes (un nombre, un x, une parenthèse).
Factorise par le facteur commun maximal (le « plus gros » qui marche).
Quand un facteur apparaît seul, ajoute un « ×1 » implicite avant de factoriser.
Avec un signe « − » devant une parenthèse à soustraire, change tous les signes à l'intérieur.
Tu peux toujours vérifier ta factorisation en redéveloppant.