Comment prouver qu'un triangle est rectangle (ou ne l'est pas) à partir de ses 3 longueurs.
ÉTAPE 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu sur cette notion ?
Sais-tu prouver qu’un triangle de côtés 6, 8, 10 est rectangle ?
Pourquoi cette question ? Quand tu fais le point sur ce que tu sais (ou crois savoir), ton cerveau met l'attention au bon endroit. C'est ce qu'on appelle la métacognition. Tu apprendras 2× mieux qu'en lisant passivement.
ÉTAPE 02 / 07
Réveil des prérequis
Quelques questions éclair. Réponds avant de regarder la solution.
1. Combien fait 10² ?
2. Pour 5 cm, 12 cm, 13 cm : quel est le plus grand côté ?
3. La réciproque sert à prouver qu’un triangle :
Effet de récupération. Te tester (même sur les bases) active la mémoire bien plus qu'une relecture. Ce que tu retrouves toi-même, tu le gardes.
ÉTAPE 03 / 07
Rappel — la règle
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle et son angle droit est en face de ce plus grand côté.
→ Sert à démontrer qu'un triangle EST rectangle.
Si AC = 5, AB = 3, BC = 4 : 5² = 25 = 9 + 16 = 3² + 4² ✓ → triangle rectangle en B.
Contraposée du théorème
Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.
→ Sert à démontrer qu'un triangle N'EST PAS rectangle.
Méthode (toujours la même !)
Repérer le plus grand côté.
Calculer (plus grand)² d'un côté.
Calculer (autre 1)² + (autre 2)² de l'autre côté.
Comparer les deux résultats :
Égaux → triangle rectangle (par la réciproque). L'angle droit est en face du plus grand côté.
Différents → triangle pas rectangle (par la contraposée).
Piège — toujours partir du PLUS GRAND côté
Si tu testes $5^2 + 12^2 = 13^2$ : tu as les bons côtés. Mais $13^2 + 5^2 = 12^2$ : c'est faux car 12 n'est pas le plus grand. La méthode marche seulement si tu prends bien le plus grand côté en premier.
Exemple résolu (rectangle)
Triangle de côtés 6 cm, 8 cm, 10 cm. Le plus grand côté est 10.
Côté gauche : $10² = 100$.
Côté droit : $6² + 8² = 36 + 64 = 100$.
$100 = 100$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (angle droit en face du côté de 10).
Exemple résolu (pas rectangle)
Triangle de côtés 7 cm, 9 cm, 12 cm. Le plus grand côté est 12.
Côté gauche : $12² = 144$.
Côté droit : $7² + 9² = 49 + 81 = 130$.
$144 ≠ 130$, donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.
Exo guidé · 1 — triangle 6-8-10
Le triangle ABC tel que AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm est-il rectangle ?
Étape 1 — Identifier le plus grand côté
Plus grand côté =
Étape 2 — Calculer AC²
AC² =
Étape 3 — Calculer AB² + BC²
$AB² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = ?$
AB² + BC² =
Étape 4 — Conclure (oui ou non)
Les deux côtés sont-ils égaux ? Si oui, triangle rectangle. Tape « oui » ou « non ».
Triangle rectangle ?
Conclusion
$AC² = 100$ et $AB² + BC² = 100$. Donc $AC² = AB² + BC²$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (en face du plus grand côté AC).
Exo guidé · 2 — triangle 7-9-12
Le triangle DEF tel que DE = 7 cm, EF = 9 cm, DF = 12 cm est-il rectangle ?
Étape 1 — Plus grand côté
Plus grand côté =
Étape 2 — Calculer DF²
DF² =
Étape 3 — Calculer DE² + EF²
$7² + 9² = 49 + 81 = ?$
DE² + EF² =
Étape 4 — Conclure
144 et 130 sont-ils égaux ? Tape « oui » ou « non ».
Triangle rectangle ?
Conclusion
$DF² = 144$ et $DE² + EF² = 130$. Donc $DF² ≠ DE² + EF²$.
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle DEF n'est pas rectangle.
Exo guidé · 3 — triangle 5-12-13
Le triangle MNP tel que MN = 5 cm, NP = 12 cm, MP = 13 cm est-il rectangle ?
Étape 1 — Calculer MP²
MP² =
Étape 2 — Calculer MN² + NP²
$5² + 12² = 25 + 144 = ?$
MN² + NP² =
Étape 3 — Conclure
Triangle rectangle ?
Conclusion
$MP² = 169$ et $MN² + NP² = 169$. Donc $MP² = MN² + NP²$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, MNP est rectangle en N.
À toi !
Tu réponds par « oui » ou « non » et tu peux vérifier ton raisonnement avec « Voir la correction ». « Nouvel exercice » pour relancer.
Exo · 1
Le triangle est-il rectangle ?
Triangle ABC avec AB = 9 cm, BC = 12 cm, AC = 15 cm.
Réponse (oui ou non)
Correction
Triangle ABC : AB = 9, BC = 12, AC = 15.
AC² = 225 · AB² + BC² = 81 + 144 = 225
Égaux → triangle rectangle en B (réciproque de Pythagore).
Exo · 2
Le triangle est-il rectangle ?
Triangle DEF avec DE = 4 cm, EF = 7 cm, DF = 8 cm.
Réponse (oui ou non)
Correction
Triangle DEF : DE = 4, EF = 7, DF = 8.
DF² = 64 · DE² + EF² = 16 + 49 = 65
64 ≠ 65 → triangle pas rectangle (contraposée de Pythagore).
Exo · 3
Le triangle est-il rectangle ?
Triangle MNP avec MN = 8 cm, NP = 15 cm, MP = 17 cm.
Réponse (oui ou non)
Correction
Triangle MNP : MN = 8, NP = 15, MP = 17.
MP² = 289 · MN² + NP² = 64 + 225 = 289
Égaux → triangle rectangle en N (réciproque de Pythagore).
Défi Brevet — type DNB
Triangle dans un repère
Dans un repère orthonormé, on a $A(1; 2)$, $B(7; 4)$, $C(2; 7)$.
On donne $AB = √40$ cm, $BC = √34$ cm, $AC = √26$ cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ?
Réponse (oui ou non)
Correction
Le plus grand côté est AB ($√40 ≈ 6,32$ est plus grand que les autres).
$AB² = 40$ · $BC² + AC² = 34 + 26 = 60$… attention, on doit comparer 40 avec la somme des carrés des deux autres : $34 + 26 = 60$.
$40 ≠ 60$ ? Mais en réalité on cherche le côté qui fait l'hypoténuse. Vérifions tout :
40 vs 34 + 26 = 60 → non. Donc PAS rectangle si on prend AB. Conclusion : non rectangle.
Ce piège est typique brevet : ne pas confondre l'ordre des côtés.
ÉTAPE 06 / 07
Ta synthèse (à compléter)
Reformule avec tes mots. C'est ce qui ancre le savoir.
Effet de génération. Écrire avec tes propres mots est bien plus puissant que recopier le cours. Ce que tu produis, tu le retiens.
ÉTAPE 07 / 07
Programme de révision
Pour ne pas oublier : reviens sur cette notion à ces dates. Le cerveau a besoin de revoir pour fixer.
TON PLANNING DE RÉACTIVATION
Courbe d'Ebbinghaus. Sans révision, tu oublies 70 % en 24 h. Avec ces 4 retours espacés, tu retiens à long terme. C'est exactement comme ça que les apps de langues fonctionnent.
Comment vraiment apprendre
MYTHE 1
Surligner et relire
✓ Se tester sans regarder
MYTHE 2
Tout réviser la veille
✓ Petit à petit, espacé
MYTHE 3
Faire 20 fois le même exo
✓ Mélanger les types
MYTHE 4
Apprendre en écoutant
✓ Apprendre en produisant
À retenir
La réciproque sert à montrer qu'un triangle EST rectangle. La contraposée sert à montrer qu'il NE L'EST PAS.
Toujours partir du plus grand côté.
Comparer (plus grand)² avec (autre 1)² + (autre 2)².
Égaux → rectangle (angle droit en face du plus grand côté).
Différents → pas rectangle.
Pas besoin d'extraire les racines : on compare des CARRÉS.