Comment prouver qu'un triangle est rectangle (ou ne l'est pas) à partir de ses 3 longueurs.
ÉTAPE 01 / 07
🪞 Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu sur cette notion ?
Sais-tu prouver qu’un triangle de côtés 6, 8, 10 est rectangle ?
🧠
Pourquoi cette question ? Quand tu fais le point sur ce que tu sais (ou crois savoir), ton cerveau met l'attention au bon endroit. C'est ce qu'on appelle la métacognition. Tu apprendras 2× mieux qu'en lisant passivement.
ÉTAPE 02 / 07
⚡ Réveil des prérequis
Quelques questions éclair. Réponds avant de regarder la solution.
1. Combien fait 10² ?
2. Pour 5 cm, 12 cm, 13 cm : quel est le plus grand côté ?
3. La réciproque sert à prouver qu’un triangle :
💡
Effet de récupération. Te tester (même sur les bases) active la mémoire bien plus qu'une relecture. Ce que tu retrouves toi-même, tu le gardes.
ÉTAPE 03 / 07
📖 Rappel — la règle
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle et son angle droit est en face de ce plus grand côté.
→ Sert à démontrer qu'un triangle EST rectangle.
Si AC = 5, AB = 3, BC = 4 : 5² = 25 = 9 + 16 = 3² + 4² ✓ → triangle rectangle en B.
Contraposée du théorème
Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.
→ Sert à démontrer qu'un triangle N'EST PAS rectangle.
Méthode (toujours la même !)
Repérer le plus grand côté.
Calculer (plus grand)² d'un côté.
Calculer (autre 1)² + (autre 2)² de l'autre côté.
Comparer les deux résultats :
Égaux → triangle rectangle (par la réciproque). L'angle droit est en face du plus grand côté.
Différents → triangle pas rectangle (par la contraposée).
⚠️ Piège — toujours partir du PLUS GRAND côté
Si tu testes $5^2 + 12^2 = 13^2$ : tu as les bons côtés. Mais $13^2 + 5^2 = 12^2$ : c'est faux car 12 n'est pas le plus grand. La méthode marche seulement si tu prends bien le plus grand côté en premier.
Exemple résolu (rectangle)
Triangle de côtés 6 cm, 8 cm, 10 cm. Le plus grand côté est 10.
Côté gauche : $10² = 100$.
Côté droit : $6² + 8² = 36 + 64 = 100$.
$100 = 100$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (angle droit en face du côté de 10).
Exemple résolu (pas rectangle)
Triangle de côtés 7 cm, 9 cm, 12 cm. Le plus grand côté est 12.
Côté gauche : $12² = 144$.
Côté droit : $7² + 9² = 49 + 81 = 130$.
$144 ≠ 130$, donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.
Exo guidé · 1 — triangle 6-8-10
Le triangle ABC tel que AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm est-il rectangle ?
Étape 1 — Identifier le plus grand côté
Plus grand côté =
Étape 2 — Calculer AC²
AC² =
Étape 3 — Calculer AB² + BC²
$AB² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = ?$
AB² + BC² =
Étape 4 — Conclure (oui ou non)
Les deux côtés sont-ils égaux ? Si oui, triangle rectangle. Tape « oui » ou « non ».
Triangle rectangle ?
Conclusion
$AC² = 100$ et $AB² + BC² = 100$. Donc $AC² = AB² + BC²$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (en face du plus grand côté AC).
Exo guidé · 2 — triangle 7-9-12
Le triangle DEF tel que DE = 7 cm, EF = 9 cm, DF = 12 cm est-il rectangle ?
Étape 1 — Plus grand côté
Plus grand côté =
Étape 2 — Calculer DF²
DF² =
Étape 3 — Calculer DE² + EF²
$7² + 9² = 49 + 81 = ?$
DE² + EF² =
Étape 4 — Conclure
144 et 130 sont-ils égaux ? Tape « oui » ou « non ».
Triangle rectangle ?
Conclusion
$DF² = 144$ et $DE² + EF² = 130$. Donc $DF² ≠ DE² + EF²$.
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle DEF n'est pas rectangle.
Exo guidé · 3 — triangle 5-12-13
Le triangle MNP tel que MN = 5 cm, NP = 12 cm, MP = 13 cm est-il rectangle ?
Étape 1 — Calculer MP²
MP² =
Étape 2 — Calculer MN² + NP²
$5² + 12² = 25 + 144 = ?$
MN² + NP² =
Étape 3 — Conclure
Triangle rectangle ?
Conclusion
$MP² = 169$ et $MN² + NP² = 169$. Donc $MP² = MN² + NP²$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, MNP est rectangle en N.
À toi !
Tu réponds par « oui » ou « non » et tu peux vérifier ton raisonnement avec « Voir la correction ». « 🔄 Nouvel exercice » pour relancer.
Exo · 1
Le triangle est-il rectangle ?
Triangle ABC avec AB = 9 cm, BC = 12 cm, AC = 15 cm.
Réponse (oui ou non)
Correction
Triangle ABC : AB = 9, BC = 12, AC = 15.
AC² = 225 · AB² + BC² = 81 + 144 = 225
Égaux → triangle rectangle en B (réciproque de Pythagore).
Exo · 2
Le triangle est-il rectangle ?
Triangle DEF avec DE = 4 cm, EF = 7 cm, DF = 8 cm.
Réponse (oui ou non)
Correction
Triangle DEF : DE = 4, EF = 7, DF = 8.
DF² = 64 · DE² + EF² = 16 + 49 = 65
64 ≠ 65 → triangle pas rectangle (contraposée de Pythagore).
Exo · 3
Le triangle est-il rectangle ?
Triangle MNP avec MN = 8 cm, NP = 15 cm, MP = 17 cm.
Réponse (oui ou non)
Correction
Triangle MNP : MN = 8, NP = 15, MP = 17.
MP² = 289 · MN² + NP² = 64 + 225 = 289
Égaux → triangle rectangle en N (réciproque de Pythagore).
🎓 Défi Brevet — type DNB
Triangle dans un repère
Dans un repère orthonormé, on a $A(1; 2)$, $B(7; 4)$, $C(2; 7)$.
On donne $AB = √40$ cm, $BC = √34$ cm, $AC = √26$ cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ?
Réponse (oui ou non)
Correction
Le plus grand côté est AB ($√40 ≈ 6,32$ est plus grand que les autres).
$AB² = 40$ · $BC² + AC² = 34 + 26 = 60$… attention, on doit comparer 40 avec la somme des carrés des deux autres : $34 + 26 = 60$.
$40 ≠ 60$ ? Mais en réalité on cherche le côté qui fait l'hypoténuse. Vérifions tout :
40 vs 34 + 26 = 60 → non. Donc PAS rectangle si on prend AB. Conclusion : non rectangle.
Ce piège est typique brevet : ne pas confondre l'ordre des côtés.
ÉTAPE 06 / 07
✍️ Ta synthèse (à compléter)
Reformule avec tes mots. C'est ce qui ancre le savoir.
🧬
Effet de génération. Écrire avec tes propres mots est bien plus puissant que recopier le cours. Ce que tu produis, tu le retiens.
ÉTAPE 07 / 07
📅 Programme de révision
Pour ne pas oublier : reviens sur cette notion à ces dates. Le cerveau a besoin de revoir pour fixer.
📅 TON PLANNING DE RÉACTIVATION
📈
Courbe d'Ebbinghaus. Sans révision, tu oublies 70 % en 24 h. Avec ces 4 retours espacés, tu retiens à long terme. C'est exactement comme ça que les apps de langues fonctionnent.
⚡ Comment vraiment apprendre
MYTHE 1
Surligner et relire
✓ Se tester sans regarder
MYTHE 2
Tout réviser la veille
✓ Petit à petit, espacé
MYTHE 3
Faire 20 fois le même exo
✓ Mélanger les types
MYTHE 4
Apprendre en écoutant
✓ Apprendre en produisant
📌 À retenir
La réciproque sert à montrer qu'un triangle EST rectangle. La contraposée sert à montrer qu'il NE L'EST PAS.
Toujours partir du plus grand côté.
Comparer (plus grand)² avec (autre 1)² + (autre 2)².
Égaux → rectangle (angle droit en face du plus grand côté).
Différents → pas rectangle.
Pas besoin d'extraire les racines : on compare des CARRÉS.