Exo 1 · Facile Calculer
ƒ(x) = x² − 6x + 5. Calcule ƒ′(x) et résous ƒ′(x) = 0.
Variations et courbes représentatives
Première · Analyse · BO 2026 (Première spé)
Signe de la dérivée, sens de variation, extremums et problèmes d'optimisation.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu dresser un tableau de variations à partir du signe de la dérivée ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Calcul de dérivées (chapitre précédent).
- Signe d'un produit, d'un quotient, d'un trinôme.
- Résolution d'équations et d'inéquations.
- Lecture d'un tableau de variations.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Signe de ƒ′ et variations
Sur un intervalle : si ƒ′(x) > 0 alors ƒ est croissante ; si ƒ′(x) < 0 alors ƒ est décroissante ; si ƒ′(x) = 0 sur l'intervalle alors ƒ est constante.
3.2 — Tableau de variations
Étapes : calculer ƒ′(x), étudier son signe, puis traduire en flèches ↗ (croissant) et ↘ (décroissant) dans un tableau.
3.3 — Extremum local
Si ƒ′ s'annule en a en changeant de signe, alors ƒ admet un extremum local en a : un maximum si ƒ′ passe de + à −, un minimum si ƒ′ passe de − à +.
3.4 — Optimisation
Pour optimiser une grandeur (aire, volume, coût), on l'exprime en fonction d'une variable, on dérive, et on cherche où la dérivée s'annule en changeant de signe.
Erreur classique
ƒ′(a) = 0 ne suffit pas pour un extremum : il faut un changement de signe. Exemple : ƒ(x) = x³, ƒ′(0) = 0 mais ƒ n'a pas d'extremum en 0.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Variations
ƒ(x) = x² − 4x + 1. ƒ′(x) = 2x − 4, qui s'annule en x = 2. ƒ′ < 0 avant 2, > 0 après : minimum en x = 2, ƒ(2) = −3.
Ex 2 — Degré 3
ƒ(x) = x³ − 3x. ƒ′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1). Maximum en x = −1, minimum en x = 1.
Ex 3 — Optimisation
Aire d'un rectangle de périmètre 20 : A(x) = x(10 − x). A′(x) = 10 − 2x = 0 en x = 5. Aire maximale = 25 (carré).
Ex 4 — Pas d'extremum
ƒ(x) = x³ : ƒ′(x) = 3x² ≥ 0, ne change pas de signe : ƒ est croissante, sans extremum.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Raisonner
ƒ′(x) = 2x − 8. Indique sur quel intervalle ƒ est croissante, sur lequel elle est décroissante.
Exo 3 · Moyen Représenter
ƒ(x) = x² − 2x − 3. Dresse le tableau de variations complet.
Exo 4 · Moyen Raisonner
ƒ(x) = x³ − 12x. Étudie le signe de ƒ′ et donne les extremums locaux.
Exo 5 · Moyen Calculer
ƒ(x) = −x² + 4x + 1. Détermine la valeur maximale de ƒ et où elle est atteinte.
Exo 6 · Moyen Communiquer
Un élève dit : « ƒ′(3) = 0 donc ƒ a un maximum en 3 ». Pourquoi est-ce insuffisant ?
Exo 7 · Défi Modéliser
On dispose de 40 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire contre un mur (3 côtés). Quelles dimensions donnent l'aire maximale ?
Exo 8 · Défi Modéliser
Le bénéfice (en milliers d'€) est B(x) = −x² + 10x − 16 pour x centaines d'objets. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ?
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- ƒ′ > 0 ⟹ ƒ croissante ; ƒ′ < 0 ⟹ ƒ décroissante.
- Tableau de variations = signe de ƒ′ traduit en flèches.
- Extremum local ⟺ ƒ′ s'annule EN CHANGEANT de signe.
- + puis − ⟹ maximum ; − puis + ⟹ minimum.
- Optimiser = exprimer, dériver, annuler ƒ′.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1, 2 et 3.
J+7
Refais exos 4 et 5.
J+30
Exos 7 et 8 (optimisation).
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi un changement de signe de ƒ′ est-il nécessaire pour un extremum ?
Q2. Comment relier un problème concret à une fonction à optimiser ?