Exo 1 · Facile Calculer
Dérive : a) ƒ(x) = 4x³ · b) g(x) = 7x − 2 · c) h(x) = x² + 3x − 1.
Dérivation
Première · Analyse · BO 2026 (Première spé)
Nombre dérivé, tangente, fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu calculer la dérivée d'une fonction et trouver l'équation d'une tangente ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Notion de fonction, image et antécédent.
- Coefficient directeur d'une droite (Seconde).
- Équation réduite y = m x + p.
- Calcul littéral, puissances, identités remarquables.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Nombre dérivé
Le nombre dérivé de ƒ en a, noté ƒ′(a), est la limite du taux d'accroissement (ƒ(a+h) − ƒ(a)) ⁄ h quand h tend vers 0. C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
3.2 — Équation de la tangente
La tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse a a pour équation : y = ƒ′(a)(x − a) + ƒ(a).
3.3 — Dérivées usuelles
Si ƒ(x) = k alors ƒ′(x) = 0. Si ƒ(x) = x alors ƒ′(x) = 1. Si ƒ(x) = xⁿ alors ƒ′(x) = n x ⁿ⁻¹. Si ƒ(x) = √x alors ƒ′(x) = 1 ⁄ (2√x). Si ƒ(x) = 1 ⁄ x alors ƒ′(x) = −1 ⁄ x².
3.4 — Opérations
(u + v)′ = u′ + v′ · (k u)′ = k u′ · (u v)′ = u′v + u v′ · (u ⁄ v)′ = (u′v − u v′) ⁄ v².
Erreur classique
La dérivée d'un produit n'est PAS le produit des dérivées : (u v)′ ≠ u′ v′. Il faut utiliser u′v + u v′.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Polynôme
ƒ(x) = 3x² − 5x + 2. Alors ƒ′(x) = 6x − 5.
Ex 2 — Tangente
ƒ(x) = x², en a = 2 : ƒ(2) = 4 et ƒ′(2) = 4. Tangente : y = 4(x − 2) + 4 = 4x − 4.
Ex 3 — Produit
ƒ(x) = (2x + 1)(x − 3). Avec u = 2x+1, v = x−3 : ƒ′ = 2(x−3) + (2x+1)(1) = 4x − 5.
Ex 4 — Quotient
ƒ(x) = (x + 1) ⁄ (x − 2). ƒ′ = (1·(x−2) − (x+1)·1) ⁄ (x−2)² = −3 ⁄ (x−2)².
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Dérive : a) ƒ(x) = 1 ⁄ x · b) g(x) = √x · c) h(x) = 5.
Exo 3 · Moyen Calculer
Dérive avec la règle du produit : ƒ(x) = (x + 2)(3x − 1).
Exo 4 · Moyen Calculer
Dérive avec la règle du quotient : ƒ(x) = (2x − 1) ⁄ (x + 3).
Exo 5 · Moyen Représenter
ƒ(x) = x². Détermine l'équation de la tangente au point d'abscisse a = −1.
Exo 6 · Moyen Raisonner
ƒ(x) = x³ − 3x. Calcule ƒ′(x) puis résous ƒ′(x) = 0.
Exo 7 · Défi Modéliser
Le coût d'une production est C(x) = x² + 4x + 9 (en euros). Calcule le coût marginal C′(x) et sa valeur pour x = 10.
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève écrit : « (x²·x³)′ = 2x · 3x² = 6x³ ». Explique son erreur et donne la bonne dérivée.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- ƒ′(a) = coefficient directeur de la tangente en a.
- Tangente : y = ƒ′(a)(x − a) + ƒ(a).
- (xⁿ)′ = n x ⁿ⁻¹.
- (u v)′ = u′v + u v′ et (u ⁄ v)′ = (u′v − u v′) ⁄ v².
- (u + v)′ = u′ + v′ et (k u)′ = k u′.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3, 4 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi le nombre dérivé est-il le coefficient directeur de la tangente ?
Q2. Comment le signe de ƒ′ renseigne-t-il sur les variations de ƒ ?