Exo 1 · Facile Calculer
Une variable aléatoire a pour espérance 20 et pour écart type 6. Calcule 2σ/√n pour n = 25, puis n = 100.
Expérimentations (échantillons simulés)
Première · Probabilités et statistiques · BO 2026 (Première spé)
Simuler une variable aléatoire, observer la moyenne d'un échantillon, approcher l'espérance.
Section nouvelle du BO 2026. Elle prolonge le travail expérimental de seconde. L'objectif annoncé par le programme est de faire percevoir le principe de l'estimation : approcher l'espérance d'une variable aléatoire par la moyenne observée sur un échantillon. Rien n'est démontré ici — on observe, on conjecture, on quantifie.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Si tu simules 1 000 fois un lancer de dé, sais-tu prévoir autour de quelle valeur la moyenne va se stabiliser ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Variable aléatoire : loi, espérance, variance, écart type (chapitre « Variables aléatoires réelles »).
- Boucles, listes et fonctions en Python (chapitre « Algorithmique et programmation »).
- Fluctuation d'échantillonnage vue en seconde.
Étape 03 / 07
Cours
2.1 — Simuler une variable aléatoire
Simuler, c'est fabriquer avec la machine des valeurs qui se comportent comme la variable aléatoire étudiée.
from random import randint
def de():
return randint(1, 6)
def de():
return randint(1, 6)
Un tableur fait la même chose avec ALEA.ENTRE.BORNES. Ce qui compte n'est pas l'outil, c'est de savoir ce qu'on modélise : ici la loi uniforme sur 1 à 6, d'espérance 3,5.
2.2 — La moyenne d'un échantillon de taille n
Un échantillon de taille n est une liste de n valeurs simulées indépendamment. Sa moyenne est un nombre qui change à chaque exécution : c'est lui-même le résultat d'un hasard.
def moyenne_echantillon(n):
s = 0
for i in range(n):
s = s + de()
return s / n
s = 0
for i in range(n):
s = s + de()
return s / n
Savoir lire, comprendre et écrire cette fonction est une capacité attendue du programme.
2.3 — L'écart à l'espérance quand n grandit
On exécute la fonction pour n = 10, puis 100, puis 1 000, puis 10 000, et on regarde l'écart entre la moyenne obtenue et l'espérance μ.
L'observation est toujours la même : cet écart diminue quand n augmente, mais de façon irrégulière — il ne descend pas à chaque essai. Ce n'est pas une décroissance mécanique, c'est une concentration.
Piège
Une seule simulation ne prouve rien. Un échantillon de taille 1 000 peut donner une moyenne plus éloignée qu'un échantillon de taille 100 : c'est l'ensemble du comportement qu'on observe, pas un tirage isolé.
2.4 — Quantifier : la proportion des cas où |m − μ| ⩽ 2σ/√n
On passe alors à l'étage supérieur : on simule N échantillons de taille n, ce qui donne N moyennes, et on compte celles qui tombent près de μ.
proportion des cas où | m − μ | ⩽ 2σ / √n
Le programme demande de calculer cette proportion. On constate qu'elle est élevée et stable, quelles que soient n et la loi choisie — c'est ce que la terminale formalisera avec l'inégalité de concentration.
La quantité 2σ/√n a une lecture simple : elle est divisée par 2 quand n est multiplié par 4. Gagner une décimale de précision coûte cent fois plus de tirages.
2.5 — Ce qu'on a le droit d'en conclure
La simulation ne démontre rien. Elle rend plausible et quantifiable une idée : la moyenne d'un grand échantillon est une bonne estimation de l'espérance.
C'est exactement le raisonnement d'un sondage, d'un contrôle qualité ou d'une mesure physique répétée : on ne connait pas μ, on l'estime par m, et on sait dire à quelle distance on se trouve, avec quelle fréquence.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Dé équilibré
μ = 3,5 et σ ≈ 1,71. Pour n = 100 : 2σ/√n ≈ 0,34. Les moyennes simulées tombent presque toutes entre 3,16 et 3,84.
Ex 2 — Effet de n
Pour n = 400, 2σ/√n ≈ 0,17 : l'intervalle est deux fois plus étroit qu'avec n = 100.
Ex 3 — Pile ou face
X vaut 1 pour pile, 0 pour face : μ = 0,5 et σ = 0,5. Pour n = 1 000, 2σ/√n ≈ 0,032, soit environ 3 points de pourcentage — l'ordre de grandeur d'une marge de sondage.
Ex 4 — Compter
Sur N = 500 échantillons de taille 100, on trouve environ 480 moyennes dans l'intervalle, soit une proportion voisine de 0,96.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Représenter
Écris en Python une fonction qui simule le lancer d'une pièce et renvoie 1 ou 0.
Exo 3 · Facile Calculer
Par combien faut-il multiplier n pour diviser 2σ/√n par 3 ?
Exo 4 · Moyen Modéliser
Écris une fonction Python qui renvoie la moyenne d'un échantillon de taille n de la variable « somme de deux dés ». Quelle espérance attends-tu ?
Exo 5 · Moyen Chercher
Simule 200 échantillons de taille 50 pour un dé, puis compte la proportion de moyennes situées à moins de 2σ/√n de 3,5. Compare à ce qu'annonce le cours.
Exo 6 · Moyen Communiquer
Un sondage sur 1 000 personnes donne 52 %. Explique, avec 2σ/√n, pourquoi on ne peut pas en conclure qu'un candidat est en tête.
Exo 7 · Défi Chercher Raisonner
Reprends l'expérience avec une loi très dissymétrique (par exemple X qui vaut 100 avec probabilité 0,01 et 0 sinon). La proportion observée reste-t-elle voisine ? Que faut-il pour que n soit « assez grand » ?
Exo 8 · Défi Modéliser
Un fabricant veut estimer la masse moyenne de ses pièces à 0,1 g près. L'écart type connu est 1,2 g. Quelle taille d'échantillon proposer, en prenant 2σ/√n comme précision ?
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Synthèse — À retenir
- Simuler, c'est produire des valeurs qui suivent la loi étudiée — Python ou tableur, peu importe.
- La moyenne d'un échantillon est elle-même aléatoire : elle change à chaque exécution.
- Quand n augmente, les moyennes se concentrent autour de l'espérance μ.
- Repère chiffré : la proportion des cas où | m − μ | ⩽ 2σ/√n est élevée et stable.
- 2σ/√n est divisé par 2 quand n est multiplié par 4.
- Une simulation ne démontre pas : elle rend une idée plausible et mesurable.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Relance ta simulation avec un autre n et compare.
J+7
Refais les exercices 5 et 8.
J+30
Reprends l'exercice 6 avec un autre sondage trouvé dans la presse.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi trouve-t-on √n au dénominateur, et pas n ?
Q2. Que devient ce travail en terminale, avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres ?