Exo 1 · Facile Calculer
Simplifie : a) e² × e⁶ · b) e⁹ ⁄ e⁴ · c) (e²)³.
Fonction exponentielle
Première · Analyse · BO 2026 (Première spé)
Définition, propriétés algébriques de exp, dérivée, variations et courbe.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Connais-tu les règles de calcul de la fonction exponentielle (eᵃ⁺ᵇ, eᵃ⁻ᵇ…) ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Règles des puissances (aᵐ⁺ⁿ = aᵐ aⁿ).
- Dérivation et signe de la dérivée.
- Suites géométriques (lien croissance à taux constant).
- Lecture d'une courbe et tableau de variations.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Définition
La fonction exponentielle, notée exp ou x ↦ eˣ, est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp′ = exp et exp(0) = 1. Elle est strictement positive sur ℝ : eˣ > 0 pour tout x.
3.2 — Propriétés algébriques
Pour tous réels a, b : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ · e⁻ᵃ = 1 ⁄ eᵃ · eᵃ⁻ᵇ = eᵃ ⁄ eᵇ · (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ. On a aussi e¹ = e ≈ 2,718.
3.3 — Dérivée et variations
(eˣ)′ = eˣ > 0 : la fonction exp est strictement croissante sur ℝ. Plus généralement, (eᵘ)′ = u′ eᵘ.
3.4 — Lien avec les suites géométriques
Une croissance exponentielle modélise une évolution à taux constant : ce que les suites géométriques font sur ℕ, l'exponentielle le fait sur ℝ (intérêts composés, populations, désintégration).
Erreur classique
eᵃ⁺ᵇ ≠ eᵃ + eᵇ. L'exponentielle transforme une somme en produit : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Simplifier
e³ × e⁵ = e⁸. Et e⁷ ⁄ e² = e⁵.
Ex 2 — Simplifier
(eˣ)² × e⁻ˣ = e²ˣ × e⁻ˣ = eˣ.
Ex 3 — Dériver
ƒ(x) = e³ˣ. Avec u = 3x, u′ = 3 : ƒ′(x) = 3 e³ˣ.
Ex 4 — Dériver un produit
ƒ(x) = x eˣ. ƒ′(x) = 1·eˣ + x·eˣ = (1 + x) eˣ.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Simplifie : a) eˣ × e⁻ˣ · b) e²ˣ ⁄ eˣ · c) (e⁻¹)⁻³.
Exo 3 · Moyen Calculer
Dérive : a) ƒ(x) = e⁵ˣ · b) g(x) = e⁻²ˣ · c) h(x) = eˣ²⁺¹.
Exo 4 · Moyen Calculer
Dérive ƒ(x) = (2x − 1) eˣ.
Exo 5 · Moyen Raisonner
Justifie que pour tout réel x, eˣ > 0, et déduis-en le sens de variation de x ↦ eˣ.
Exo 6 · Moyen Représenter
Trace l'allure de la courbe de x ↦ eˣ : passage par (0 ; 1), positivité, croissance.
Exo 7 · Défi Modéliser
Une population vaut P(t) = 500 e⁰·⁰³ᵗ (t en années). Calcule P(0), P(10) et le taux de croissance instantané P′(t).
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève écrit « e²⁺³ = e² + e³ ». Explique pourquoi c'est faux et corrige.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- exp′ = exp, exp(0) = 1, eˣ > 0 pour tout x.
- eᵃ⁺ᵇ = eᵃ eᵇ · e⁻ᵃ = 1 ⁄ eᵃ · eᵃ⁻ᵇ = eᵃ ⁄ eᵇ.
- (eˣ)′ = eˣ et (eᵘ)′ = u′ eᵘ.
- x ↦ eˣ est strictement croissante sur ℝ.
- Modèle de croissance à taux constant.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3 et 4.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi l'exponentielle transforme-t-elle les sommes en produits ?
Q2. Quel est le lien entre eˣ et une suite géométrique de raison e ?