Exo 1 · Facile Calculer
Convertis en radians : a) 90° · b) 45° · c) 180° · d) 30°.
Trigonométrie (cercle et radian)
Première · Analyse · BO 2026 (Première spé)
Cercle trigonométrique, longueur d'arc, radian, enroulement, cosinus et sinus d'un réel.
Ce que le BO 2026 garde en première, et ce qui monte en terminale. Le nouveau programme de première s'arrête au cercle trigonométrique, à la longueur d'arc, au radian, à l'enroulement de la droite, au cosinus et au sinus d'un nombre réel et aux valeurs remarquables. Les fonctions cosinus et sinus — courbes, périodicité, parité, dérivées, variations — sont désormais étudiées en terminale. La section 3.4 ci-dessous est donc conservée comme prolongement, pas comme attendu de première.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu convertir des degrés en radians et lire cos et sin sur le cercle trigonométrique ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Cosinus et sinus dans le triangle rectangle (Seconde).
- Périmètre du cercle, proportionnalité.
- Repérage dans le plan, coordonnées.
- Valeurs des angles 30°, 45°, 60°, 90°.
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Le radian
Le radian est une unité d'angle : un tour complet vaut 2π rad = 360°. Donc π rad = 180°. Conversion : angle (rad) = angle (deg) × π ⁄ 180.
3.2 — Cercle trigonométrique
C'est le cercle de centre O et de rayon 1. À un réel x on associe un point M obtenu en « enroulant » la droite des réels. Alors cos x est l'abscisse de M et sin x son ordonnée.
3.3 — Valeurs remarquables
cos 0 = 1, sin 0 = 0 · cos(π⁄6) = √3⁄2, sin(π⁄6) = 1⁄2 · cos(π⁄4) = sin(π⁄4) = √2⁄2 · cos(π⁄3) = 1⁄2, sin(π⁄3) = √3⁄2 · cos(π⁄2) = 0, sin(π⁄2) = 1.
3.4 — Propriétés des fonctions (terminale)
Pour tout réel x : −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1 · cos²x + sin²x = 1 · cos(−x) = cos x (paire) et sin(−x) = −sin x (impaire) · les deux fonctions sont périodiques de période 2π.
Erreur classique
Sur le cercle trigonométrique, la calculatrice doit être en mode radian, pas en degré. Vérifie le réglage avant tout calcul.
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Conversion
60° = 60 × π ⁄ 180 = π ⁄ 3 rad.
Ex 2 — Conversion inverse
3π ⁄ 4 rad = 3π ⁄ 4 × 180 ⁄ π = 135°.
Ex 3 — Valeur remarquable
cos(π ⁄ 3) = 1 ⁄ 2 et sin(π ⁄ 3) = √3 ⁄ 2.
Ex 4 — Identité
Si cos x = 3 ⁄ 5 avec sin x > 0, alors sin x = √(1 − 9⁄25) = 4 ⁄ 5.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Calculer
Convertis en degrés : a) π ⁄ 2 · b) π ⁄ 6 · c) 2π ⁄ 3.
Exo 3 · Moyen Représenter
Place sur le cercle trigonométrique les points associés à π ⁄ 4, π ⁄ 2 et π.
Exo 4 · Moyen Calculer
Donne les valeurs exactes : a) cos(π ⁄ 4) · b) sin(π ⁄ 6) · c) cos(π ⁄ 2).
Exo 5 · Moyen Raisonner
On sait que sin x = 5 ⁄ 13 et cos x > 0. Calcule cos x à l'aide de cos²x + sin²x = 1.
Exo 6 · Moyen Raisonner
Utilise la parité : sachant cos(π ⁄ 6) = √3 ⁄ 2 et sin(π ⁄ 6) = 1 ⁄ 2, donne cos(−π ⁄ 6) et sin(−π ⁄ 6).
Exo 7 · Défi Raisonner
Montre que cos²(π ⁄ 3) + sin²(π ⁄ 3) = 1 en utilisant les valeurs remarquables.
Exo 8 · Défi Modéliser
La hauteur de l'eau dans un port est h(t) = 3 + 2 cos(t) (en m). Donne la hauteur maximale et minimale et explique la périodicité.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- 2π rad = 360° ; π rad = 180°.
- Sur le cercle de rayon 1 : cos x = abscisse, sin x = ordonnée.
- cos²x + sin²x = 1.
- cos(−x) = cos x (paire), sin(−x) = −sin x (impaire).
- Valeurs remarquables : 0, π⁄6, π⁄4, π⁄3, π⁄2.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2 (conversions).
J+7
Refais exos 4 et 5.
J+30
Exos 7 et 8.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi définit-on les angles en radians plutôt qu'en degrés en analyse ?
Q2. D'où vient la relation cos²x + sin²x = 1 sur le cercle trigonométrique ?