Exo 1 · Facile Calculer
Donne une équation cartésienne de la droite d'équation réduite y = −3x + 4.
Géométrie repérée (droites et cercles)
Première · Géométrie · BO 2026 (Première spé)
Vecteur directeur, équation cartésienne d'une droite, équation d'un cercle.
Étape 01 / 07
Avant de commencer
Question honnête : où en es-tu ?
Sais-tu déterminer une équation cartésienne de droite et l'équation d'un cercle ?
Étape 02 / 07
Prérequis
- Coordonnées d'un vecteur, milieu (Seconde).
- Équation réduite d'une droite y = m x + p.
- Norme d'un vecteur, distance entre deux points.
- Produit scalaire (chapitre précédent).
Étape 03 / 07
Cours
3.1 — Vecteur directeur
Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul de même direction qu'elle. Si la droite a pour équation réduite y = m x + p, alors u⃗ (1 ; m) en est un vecteur directeur.
3.2 — Équation cartésienne
Toute droite admet une équation de la forme a x + b y + c = 0 (avec a, b non tous deux nuls). Le vecteur u⃗ (−b ; a) en est un vecteur directeur, et n⃗ (a ; b) un vecteur normal.
3.3 — Droite par un point et un vecteur
M(x ; y) appartient à la droite passant par A(x_A ; y_A) de vecteur directeur u⃗ (α ; β) si et seulement si les vecteurs AM⃗ et u⃗ sont colinéaires : β(x − x_A) − α(y − y_A) = 0.
3.4 — Équation d'un cercle
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r². Un point M est sur le cercle quand sa distance à Ω vaut r.
Erreur classique
Dans a x + b y + c = 0, le vecteur directeur est (−b ; a), PAS (a ; b) — celui-là est le vecteur normal (perpendiculaire à la droite).
Étape 04 / 07
Exemples résolus
Ex 1 — Cartésienne
y = 2x + 3 s'écrit 2x − y + 3 = 0. Vecteur directeur : (1 ; 2).
Ex 2 — Point + vecteur
Droite par A(1 ; 2), u⃗ (3 ; 1) : 1(x − 1) − 3(y − 2) = 0, soit x − 3y + 5 = 0.
Ex 3 — Cercle
Centre Ω(2 ; −1), rayon 3 : (x − 2)² + (y + 1)² = 9.
Ex 4 — Appartenance
Le point M(5 ; −1) est-il sur (x − 2)² + (y + 1)² = 9 ? 9 + 0 = 9 : oui.
Étape 05 / 07
Exercices d'application
Exo 2 · Facile Représenter
Donne un vecteur directeur de la droite 2x + 5y − 1 = 0.
Exo 3 · Moyen Calculer
Détermine une équation cartésienne de la droite passant par A(2 ; 1) de vecteur directeur u⃗ (4 ; −2).
Exo 4 · Moyen Calculer
Détermine une équation de la droite passant par A(1 ; 3) et B(5 ; 7).
Exo 5 · Moyen Calculer
Écris l'équation du cercle de centre Ω(−1 ; 2) et de rayon 4.
Exo 6 · Moyen Raisonner
Le point M(3 ; 6) appartient-il au cercle (x − 0)² + (y − 2)² = 25 ? Justifie.
Exo 7 · Défi Raisonner
Détermine le centre et le rayon du cercle passant par A(2 ; 0) et B(−2 ; 0) de centre sur l'axe des ordonnées et de rayon 2√2.
Exo 8 · Défi Communiquer
Un élève affirme que (a ; b) est toujours un vecteur directeur de a x + b y + c = 0. Explique son erreur.
Étape 06 / 07
Synthèse — À retenir
- Droite : a x + b y + c = 0.
- Vecteur directeur : (−b ; a) · vecteur normal : (a ; b).
- Pour y = m x + p, vecteur directeur (1 ; m).
- Cercle de centre Ω(a ; b), rayon r : (x − a)² + (y − b)² = r².
- M sur le cercle ⟺ ΩM = r.
Étape 07 / 07
Plan de révisions
J+1
Refais exos 1 et 2.
J+7
Refais exos 3, 4 et 5.
J+30
Exos 6 et 7.
Pour aller plus loin
Q1. Pourquoi le vecteur (−b ; a) est-il directeur et (a ; b) normal ?
Q2. Comment l'équation d'un cercle découle-t-elle de la formule de distance ?